1. \int \operatorname{sech}^{2} u d u=\operatorname{tanh} u+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função hiperbólica \operatorname{sech}^{2}u, ou seja,
\int \operatorname{sech}^{2}u \,du.
Para resolver, precisamos lembrar da relação entre derivada e antiderivada das funções hiperbólicas, em particular a da tangente hiperbólica.

Passo 2

Sabemos que a derivada da função \operatorname{tanh} u é
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tanh} u\bigr)=\operatorname{sech}^{2}u.
Portanto, ao buscar uma primitiva de \operatorname{sech}^{2}u, reconhecemos que ela é exatamente \operatorname{tanh} u.

Resposta

\int \operatorname{sech}^{2}u \,du = \operatorname{tanh} u + C.

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