Use uma série para aproximar a integral definida com precisão de três casas decimais.
\int_{0}^{0,5} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com três casas decimais a integral
\int_{0}^{0,5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de Taylor de \cos(u) em torno de u=0, depois substituir u=x^{2} e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de \cos(u) é
\cos(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{u^{2n}}{(2n)!}.
Substituindo u=x^{2} vem
\cos\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n)!}.

Passo 3

Integramos de 0 a 0,5 termo a termo:
\int_{0}^{0,5}x^{4n}\,dx =\biggl[\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\biggr]_{0}^{0,5} =\frac{0,5^{\,4n+1}}{4n+1}.
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\int_{0}^{0,5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\, \frac{0,5^{\,4n+1}}{(4n+1)\,(2n)!}.

Passo 4

Calculamos os primeiros termos até que o próximo termo em módulo seja menor que 5\times10^{-4}, garantindo três casas decimais:
n =0:
T_{0} =\frac{0,5^{1}}{1\cdot0!} =0,5.
n =1:
T_{1} =-\frac{0,5^{5}}{5\cdot2!} =-\frac{0,03125}{10} =-0,003125.
Soma parcial S_{1}=0,5-0,003125=0,496875.

Passo 5

n =2:
T_{2} =+\frac{0,5^{9}}{9\cdot4!} =\frac{0,001953125}{9\cdot24} \approx+9,04\times10^{-6}.
Como \lvert T_{2}\rvert\approx9\times10^{-6}<5\times10^{-4}, podemos parar aqui e considerar
\int_{0}^{0,5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \approx S_{1}+T_{2} \approx0,496884.

Resposta

\int_{0}^{0,5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\approx0,497.

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