1. \int \operatorname{sen}(x / 4) \cos (3 x / 4) d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad-\frac{1}{2} \cos x+\cos (x / 2)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sin\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{3x}{4}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é “integração de produto de funções trigonométricas” e vamos usar a identidade que transforma produto de seno e cosseno em soma de senos para facilitar a integração.

Passo 2

A identidade de produto-para-soma que vamos usar é
\sin A \,\cos B \;=\;\tfrac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).

Passo 3

Tomando A=\tfrac{x}{4} e B=\tfrac{3x}{4}, temos
\sin\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{3x}{4}\bigr) =\tfrac12\bigl(\sin(x)+\sin(-\tfrac{x}{2})\bigr) =\tfrac12\bigl(\sin x-\sin(\tfrac{x}{2})\bigr).
Assim a integral vira
\int \sin\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{3x}{4}\bigr)\,dx =\tfrac12\int\sin x\,dx -\tfrac12\int\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora usamos a regra geral
\int \sin(kx)\,dx = -\tfrac{1}{k}\cos(kx)+C.
Para a primeira parte k=1:
\tfrac12\int\sin x\,dx = \tfrac12\bigl(-\cos x\bigr) = -\tfrac12\cos x.
Para a segunda parte k=\tfrac12:
-\tfrac12\int\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =-\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{\tfrac12}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr) =\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração, obtemos
-\tfrac12\cos x \;+\;\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\;+\;C.

Resposta

-\tfrac12\cos x + \cos(\tfrac{x}{2}) + C

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