, com
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
supondo que
.\n
Informações dadas e importantes: é a função a integrar;
é a variável de integração;
é uma constante diferente de zero. A resposta deve ser uma antiderivada (uma família de funções) mais uma constante de integração
.
Informações dadas e importantes:
Passo 2
Escolha do método: vamos usar substituição simples (trocar a expressão
por uma nova variável) porque isso transforma a integral numa forma conhecida. A ideia da substituição é: se colocarmos
, a parte complicada
fica só
e podemos integrar
, cuja primitiva conhecemos.
Passo 3
Fazendo a substituição. Defina
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Isolando
,
Passo 4
Substitua na integral original. Temos
Como
é constante (em relação a
), podemos colocá‑la fora da integral:
Passo 5
Calcular
. Sabemos que a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. Formalmente,
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável
. Substituindo
na expressão obtida:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para você usar na prova se quiser checar): derive
em relação a
:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Observação: precisamos de
porque dividimos por
durante a substituição.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
Isto mostra concretamente como aplicar a fórmula na prova.