\int \operatorname{sen}(a x) d x, com a \neq 0.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int \operatorname{sen}(a x)\,dx supondo que a \neq 0.\n
Informações dadas e importantes: \operatorname{sen}(a x) é a função a integrar; x é a variável de integração; a é uma constante diferente de zero. A resposta deve ser uma antiderivada (uma família de funções) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar substituição simples (trocar a expressão a x por uma nova variável) porque isso transforma a integral numa forma conhecida. A ideia da substituição é: se colocarmos u = a x, a parte complicada a x fica só u e podemos integrar \operatorname{sen}(u), cuja primitiva conhecemos.

Passo 3

Fazendo a substituição. Defina
u = a x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = a,
ou seja
du = a\,dx.
Isolando dx,
dx = \frac{du}{a}.

Passo 4

Substitua na integral original. Temos
\int \operatorname{sen}(a x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{a}.
Como \tfrac{1}{a} é constante (em relação a u), podemos colocá‑la fora da integral:
\int \operatorname{sen}(a x)\,dx = \frac{1}{a}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcular \int \operatorname{sen}(u)\,du. Sabemos que a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), portanto uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Formalmente,
\frac{d}{du}\big(-\cos(u)\big) = -(-\operatorname{sen}(u)) = \operatorname{sen}(u).
Logo
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável x. Substituindo u = a x na expressão obtida:
\int \operatorname{sen}(a x)\,dx = \frac{1}{a}\big(-\cos(u)\big) + C = -\frac{1}{a}\cos(a x) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para você usar na prova se quiser checar): derive -\dfrac{1}{a}\cos(a x) + C em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\cos(a x)\right) = -\frac{1}{a}\cdot\big(-\sin(a x)\big)\cdot a = \sin(a x),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Observação: precisamos de a \neq 0 porque dividimos por a durante a substituição.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar: se a=2, então
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C.
Isto mostra concretamente como aplicar a fórmula na prova.

Resposta

-\dfrac{1}{a}\cos(a x)+C

Exercícios relacionados