\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi / 3}(\cos x+\sin y) d x d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi / 3}(\cos x+\sin y)\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A variável interna é x com limite [0,\pi/3].
  • A variável externa é y com limite [0,1].
  • O integrando é \cos x + \sin y.
  • Os limites definem um retângulo no plano: 0\le x\le \pi/3, 0\le y\le 1.
  • Observação útil (do enunciado): a função \cos x + \sin y é contínua nesse retângulo, então a integral iterada existe.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicadinha, sem mistério):
  • Como a integral é iterada \int_{0}^{1}\big(\int_{0}^{\pi/3}(\cos x+\sin y)\,dx\big)dy, vamos primeiro calcular a integral interna em x, tratando y como constante nessa etapa. Isso é válido porque, ao integrar em x, qualquer termo que dependa só de y é uma constante em relação a x.
  • Usaremos duas propriedades básicas de integrais que você precisa dominar:
    1. Linearidade: \int (f+g) = \int f + \int g e constante pode sair da integral.
    2. Teorema Fundamental do Cálculo: uma primitiva de \cos x é \sin x; ou seja, \int \cos x\,dx = \sin x + C. E se c é constante, \int c\,dx = c x + C.
  • Justificativa do método: integrar primeiro em x é direto porque \cos x tem primitiva simples e \sin y age como constante em x. Alternativa seria separar a integral em duas integrais (uma com \cos x e outra com \sin y) e computar cada uma sobre o retângulo — é equivalente e igualmente simples. Vou seguir a ordem dada (primeiro em x, depois em y).

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{\pi/3}(\cos x+\sin y)\,dx.
Aplicando linearidade:
\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx \;+\; \int_{0}^{\pi/3}\sin y\,dx.
  • Para \int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx, a primitiva de \cos x é \sin x. Então
\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx = \big[\sin x\big]_{0}^{\pi/3} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) - \sin 0.
Sabemos que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 0=0, então esse termo vale \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para \int_{0}^{\pi/3}\sin y\,dx, note que \sin y é constante em relação a x, portanto
\int_{0}^{\pi/3}\sin y\,dx = \sin y \cdot \big[x\big]_{0}^{\pi/3} = \sin y \cdot \frac{\pi}{3}.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{\pi/3}(\cos x+\sin y)\,dx = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}\sin y.

Passo 4

Agora integramos o resultado anterior em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}\sin y\right)dy.
Usamos linearidade novamente, separando em dois integrandos.
  1. Para o primeiro termo, \frac{\sqrt{3}}{2} é constante em y, então
\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{2}\,dy = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \big[y\big]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Para o segundo termo, fator comum \frac{\pi}{3} sai da integral:
\int_{0}^{1}\frac{\pi}{3}\sin y\,dy = \frac{\pi}{3}\int_{0}^{1}\sin y\,dy.
A primitiva de \sin y é -\cos y. Assim
\int_{0}^{1}\sin y\,dy = \big[-\cos y\big]_{0}^{1} = -\cos 1 - (-\cos 0) = -\cos 1 + \cos 0.
Como \cos 0 = 1, isto é 1-\cos 1. Portanto
\frac{\pi}{3}\int_{0}^{1}\sin y\,dy = \frac{\pi}{3}(1-\cos 1).
Somando os dois resultados da integral em y:
\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}(1-\cos 1).

Passo 5

Pequena verificação alternativa (útil na prova): separar desde o começo
\iint (\cos x+\sin y)\,dA = \iint \cos x\,dA + \iint \sin y\,dA.
No retângulo 0\le x\le \pi/3,\;0\le y\le 1:
  • \iint \cos x\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\,dy = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \iint \sin y\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/3}\sin y\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\sin y\cdot\frac{\pi}{3}\,dy = \frac{\pi}{3}(1-\cos 1).
    Soma = mesmo resultado. Isso confirma que o cálculo está coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}\bigl(1-\cos 1\bigr)

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