Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A variável interna é
com limite . - A variável externa é
com limite . - O integrando é
. - Os limites definem um retângulo no plano:
, . - Observação útil (do enunciado): a função
é contínua nesse retângulo, então a integral iterada existe.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicadinha, sem mistério):
- Como a integral é iterada
, vamos primeiro calcular a integral interna em , tratando como constante nessa etapa. Isso é válido porque, ao integrar em , qualquer termo que dependa só de é uma constante em relação a . - Usaremos duas propriedades básicas de integrais que você precisa dominar:
- Linearidade:
e constante pode sair da integral. - Teorema Fundamental do Cálculo: uma primitiva de
é ; ou seja, . E se é constante, .
- Linearidade:
- Justificativa do método: integrar primeiro em
é direto porque tem primitiva simples e age como constante em . Alternativa seria separar a integral em duas integrais (uma com e outra com ) e computar cada uma sobre o retângulo — é equivalente e igualmente simples. Vou seguir a ordem dada (primeiro em , depois em ).
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aplicando linearidade:
- Para
, a primitiva de é . Então
Sabemos que
e
, então esse termo vale
.
- Para
, note que é constante em relação a , portanto
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora integramos o resultado anterior em
de
a
:
Usamos linearidade novamente, separando em dois integrandos.
- Para o primeiro termo,
é constante em , então
- Para o segundo termo, fator comum
sai da integral:
A primitiva de
é
. Assim
Como
, isto é
. Portanto
Somando os dois resultados da integral em
:
Passo 5
Pequena verificação alternativa (útil na prova): separar desde o começo
No retângulo
:
-
-
Soma = mesmo resultado. Isso confirma que o cálculo está coerente.