Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
e a função integranda é
. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Observação importante sobre a integral interna: a função
depende somente de
e não de
. Quando o integrando não depende da variável de integração, ele pode ser tratado como constante em relação a essa variável. Logo
Explico: aqui
é uma expressão em que
é fixo enquanto integramos em
, então podemos tirá-la para fora da integral em
.
Passo 3
Calcule a integral em
:
Portanto a integral interna fica
Substituindo isso na integral dupla original, reduzimos o problema a uma integral simples em
:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral em
Método escolhido: substituição simples. Definimos a nova variável
Explico o porquê: a presença de
no numerador junto com
no denominador sugere que derivando
obtemos um termo
, que está diretamente relacionado ao
que aparece na integral. Calculando o diferencial,
Também precisamos transformar os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Aqui usei a equivalência
, então
.
Passo 6
Integramos
. A regra de potência para integrais diz que, para
,
No nosso caso
, então
Aplicando o fator
que estava fora da integral:
Passo 7
Avalie a primitiva nos limites:
Posso dar um número aproximado se quiser:
, então
. Mas a forma exata é melhor para a prova.