\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d y\, d x.
Informações dadas:
\text{limites externos: } x\in[0,1],\qquad \text{limites internos: } y\in[0,x],
e a função integranda é \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Observação importante sobre a integral interna: a função \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}} depende somente de x e não de y. Quando o integrando não depende da variável de integração, ele pode ser tratado como constante em relação a essa variável. Logo
\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}} \cdot \int_{0}^{x} d y.
Explico: aqui \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}} é uma expressão em que x é fixo enquanto integramos em y, então podemos tirá-la para fora da integral em y.

Passo 3

Calcule a integral em y:
\int_{0}^{x} d y = x-0 = x.
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Substituindo isso na integral dupla original, reduzimos o problema a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d y\, d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d x.

Passo 4

Agora vamos resolver a integral em x
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d x.
Método escolhido: substituição simples. Definimos a nova variável
u = x^{2}+4.
Explico o porquê: a presença de x no numerador junto com \sqrt{x^{2}+4} no denominador sugere que derivando x^{2}+4 obtemos um termo 2x\,d x, que está diretamente relacionado ao x\,d x que aparece na integral. Calculando o diferencial,
d u = 2x\, d x \quad\Rightarrow\quad x\, d x = \frac{1}{2}\, d u.
Também precisamos transformar os limites: quando x=0 temos u=0^{2}+4=4; quando x=1 temos u=1^{2}+4=5.

Passo 5

Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\, d x = \int_{u=4}^{u=5} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2}\, d u = \frac{1}{2}\int_{4}^{5} u^{-1/2}\, d u.
Aqui usei a equivalência \sqrt{u}=u^{1/2}, então 1/\sqrt{u}=u^{-1/2}.

Passo 6

Integramos u^{-1/2}. A regra de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\, d u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\, d u = \frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\, u^{1/2}.
Aplicando o fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\frac{1}{2}\int_{4}^{5} u^{-1/2}\, d u = \frac{1}{2} \left[ 2\, u^{1/2} \right]_{4}^{5} = \left[ u^{1/2} \right]_{4}^{5}.

Passo 7

Avalie a primitiva nos limites:
\left[ u^{1/2} \right]_{4}^{5} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2.
Posso dar um número aproximado se quiser: \sqrt{5}\approx 2{,}236, então \sqrt{5}-2\approx 0{,}236. Mas a forma exata é melhor para a prova.

Resposta

\sqrt{5}-2

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