\int_{0}^{1} \int_{0}^{2}(6 x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}(6x-y)\,dy\,dx.
Pergunta-se qual é o valor dessa integral dupla.
Informações dadas:
\text{integrando: }(6x-y),\quad \text{limites internos: }y\in[0,2],\quad \text{limites externos: }x\in[0,1].
Nada mais é pedido além de calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Entendimento do que faremos (sem resolver ainda): como a integral está escrita, vamos primeiro calcular a integral interna em y mantendo x fixo (ou seja, tratamos x como constante na integração em y), e depois integrar o resultado em x de 0 a 1. Isso é a forma padrão de avaliar uma integral iterada.

Passo 3

Relembrando regras básicas de integração que usaremos:
\int a\,dy = a\,y\quad\text{se \(a\) é constante em relação a \(y\),}éçã
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No nosso caso 6x é constante em relação a y (pois a variável de integração interna é y), então
\int (6x-y)\,dy = \int 6x\,dy - \int y\,dy.

Passo 4

Calculemos explicitamente a integral interna usando as fórmulas acima. Primeiro escrevo a primitiva em y:
\int (6x-y)\,dy = 6x\cdot y - \frac{y^{2}}{2} + C.
Agora aplico os limites de y de 0 a 2:
\left[6x\cdot y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=2}.

Passo 5

Avalio a expressão nos limites:
\left(6x\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2}\right) - \left(6x\cdot 0 - \frac{0^{2}}{2}\right) = 12x - \frac{4}{2} = 12x - 2.
Portanto a integral interna já avaliada dá a função de x
f(x)=12x-2.

Passo 6

Agora integramos essa função em x no intervalo [0,1]. Usamos as regras:
\int 12x\,dx = 12\cdot\frac{x^{2}}{2}=6x^{2},\qquad \int 2\,dx=2x.
Então a primitiva de 12x-2 é
6x^{2}-2x.

Passo 7

Avalio a primitiva nos limites x=0 e x=1:
\left[6x^{2}-2x\right]_{0}^{1} = (6\cdot 1^{2}-2\cdot 1) - (6\cdot 0^{2}-2\cdot 0) = 6-2 = 4.

Resposta

4

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