Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
Pergunta: determinar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Primeira observação técnica (muito útil em provas): ao integrar em relação a
a função
, a variável
é tratada como constante porque a integração é em
. Em outras palavras, para qualquer função
que não dependa de
vale
Aplicando isso ao nosso caso com
, temos
Passo 3
Com a integração interna feita, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Agora precisamos calcular essa integral. Um truque padrão para integrais do tipo
(ou
, etc.) é a substituição
. Vou explicar a substituição direitinho:
- Definimos
. Aqui é uma nova variável que depende de . - Diferenciando, obtemos
. Isso significa que . - Também é preciso transformar os limites de integração: quando
temos ; quando temos .
Passo 4
Usando a substituição
na integral
ficamos com
Agora usamos a primitiva de
: uma antiderivada é
, porque
. Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Como
, isso se simplifica para