\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{x} \sin \left(x^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{x} \sin\!\left(x^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando interno: }\sin\!\left(x^{2}\right), \qquad y \text{ varia de } 0 \text{ a } x, \qquad x \text{ varia de } 0 \text{ a } \pi/2.
Pergunta: determinar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Primeira observação técnica (muito útil em provas): ao integrar em relação a y a função \sin\!\left(x^{2}\right), a variável x é tratada como constante porque a integração é em y. Em outras palavras, para qualquer função g(x) que não dependa de y vale
\int_{0}^{x} g(x)\,dy = g(x)\cdot\bigl(x-0\bigr)=x\,g(x).
Aplicando isso ao nosso caso com g(x)=\sin\!\left(x^{2}\right), temos
\int_{0}^{x} \sin\!\left(x^{2}\right)\,dy = x\,\sin\!\left(x^{2}\right).

Passo 3

Com a integração interna feita, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Agora precisamos calcular essa integral. Um truque padrão para integrais do tipo x\sin(x^{2}) (ou x\cos(x^{2}), etc.) é a substituição u=x^{2}. Vou explicar a substituição direitinho:
  • Definimos u=x^{2}. Aqui u é uma nova variável que depende de x.
  • Diferenciando, obtemos du = 2x\,dx. Isso significa que x\,dx = \dfrac{du}{2}.
  • Também é preciso transformar os limites de integração: quando x=0 temos u=0^{2}=0; quando x=\pi/2 temos u=(\pi/2)^{2}=\pi^{2}/4.

Passo 4

Usando a substituição u=x^{2} na integral
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin\!\left(x^{2}\right)\,dx
ficamos com
\int_{u=0}^{u=\pi^{2}/4} \sin(u)\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^{2}/4} \sin(u)\,du.
Agora usamos a primitiva de \sin(u): uma antiderivada é -\cos(u), porque \dfrac{d}{du}\bigl(-\cos(u)\bigr)=\sin(u). Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^{2}/4} \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi^{2}/4} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(\pi^{2}/4)+\cos(0)\bigr).
Como \cos(0)=1, isso se simplifica para
\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(\pi^{2}/4)\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(1-\cos(\pi^{2}/4)\bigr)

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