Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações relevantes fornecidas:
- A variável de integração externa varia em
, isto é . - A variável de integração interna varia em
, isto é . - O integrando é
, que depende apenas de (não depende de ). - A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.
Passo 2
Observação importante sobre a integração iterada: quando o integrando não depende da variável de integração interna, podemos “fatorá-lo” em relação a essa variável e multiplicá-lo pelo comprimento do intervalo de integração nessa variável. Em linguagem matemática:
desde que tudo seja integrável. Aqui
é a função que não depende de
,
e
são os limites em
.
Aplicando isso ao nosso caso, com
,
e
, obtemos a integral interna:
Passo 3
Com a avaliação da integral interna, a integral dupla reduz-se a uma integral simples:
Agora precisamos calcular essa integral. A técnica adequada é a integração por partes. Vou explicar essa técnica de forma clara.
Regra de integração por partes: para funções
e
suficientemente suaves,
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (ficar mais simples ao derivar) e
é a parte que integramos para obter
.
Passo 4
Escolhemos as partes para facilitar:
-
. -
(pois ).
Aplicando integração por partes:
Calculemos cada termo separadamente.
Primeiro termo (boundaries):
Segundo termo:
pois
.
Substituindo:
Passo 5
Resumo executivo e checagem rápida: reduzimos a integral dupla à integral simples
usando que o integrando não depende de
, aplicamos integração por partes e avaliamos os termos. O resultado final é uma combinação das funções trigonométricas avaliadas em
, que é esperado quando integrandos involvem
e
.