\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \cos x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \cos x \, dy \, dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de integração externa varia em [0,1], isto é \,x\in[0,1].
  • A variável de integração interna varia em [0,x], isto é \,y\in[0,x].
  • O integrando é \cos x, que depende apenas de \,x (não depende de \,y).
  • A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.

Passo 2

Observação importante sobre a integração iterada: quando o integrando não depende da variável de integração interna, podemos “fatorá-lo” em relação a essa variável e multiplicá-lo pelo comprimento do intervalo de integração nessa variável. Em linguagem matemática:
\int_{a}^{b}\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x)\,dy\right)dx=\int_{a}^{b} f(x)\bigl(d(x)-c(x)\bigr)\,dx,
desde que tudo seja integrável. Aqui f(x) é a função que não depende de y, c(x) e d(x) são os limites em y.
Aplicando isso ao nosso caso, com f(x)=\cos x, c(x)=0 e d(x)=x, obtemos a integral interna:
\int_{0}^{x} \cos x \, dy = \cos x \cdot (x-0) = x\cos x.

Passo 3

Com a avaliação da integral interna, a integral dupla reduz-se a uma integral simples:
\int_{0}^{1} x\cos x \, dx.
Agora precisamos calcular essa integral. A técnica adequada é a integração por partes. Vou explicar essa técnica de forma clara.
Regra de integração por partes: para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (ficar mais simples ao derivar) e dv é a parte que integramos para obter v.

Passo 4

Escolhemos as partes para facilitar:
  • u = x \Rightarrow du = dx.
  • dv = \cos x \, dx \Rightarrow v = \sin x (pois \frac{d}{dx}\sin x = \cos x).
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{1} x\cos x \, dx = \bigl[x\sin x\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sin x \, dx.
Calculemos cada termo separadamente.
Primeiro termo (boundaries):
\bigl[x\sin x\bigr]_{0}^{1} = 1\cdot\sin 1 - 0\cdot\sin 0 = \sin 1.
Segundo termo:
\int_{0}^{1} \sin x \, dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{1} = -\cos 1 - (-\cos 0) = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1,
pois \cos 0 = 1.
Substituindo:
\int_{0}^{1} x\cos x \, dx = \sin 1 - (1 - \cos 1) = \sin 1 + \cos 1 - 1.

Passo 5

Resumo executivo e checagem rápida: reduzimos a integral dupla à integral simples \int_{0}^{1} x\cos x\,dx usando que o integrando não depende de y, aplicamos integração por partes e avaliamos os termos. O resultado final é uma combinação das funções trigonométricas avaliadas em 1, que é esperado quando integrandos involvem \cos x e \sin x.

Resposta

\sin 1 + \cos 1 - 1

Exercícios relacionados