\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(8 t^{2}+\cos (t)\right) \mathrm{d} t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(8t^{2}+\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t.
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de simetria de funções pares e, em seguida, integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Observamos que 8t^{2} é claramente função par e \cos t também é par, pois
8(-t)^{2}+\cos(-t)=8t^{2}+\cos t.
Para qualquer função par f, vale
\int_{-a}^{a}f(t)\,\mathrm{d}t = 2\int_{0}^{a}f(t)\,\mathrm{d}t.
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\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(8t^{2}+\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t =2\int_{0}^{\pi/2}\bigl(8t^{2}+\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Vamos separar e calcular as duas integrais no intervalo [0,\pi/2].
Como
\int 8t^{2}\,\mathrm{d}t = \frac{8}{3}t^{3},
temos
\int_{0}^{\pi/2}8t^{2}\,\mathrm{d}t = \left.\frac{8}{3}t^{3}\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{8}{3}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{3} = \frac{8}{3}\,\frac{\pi^{3}}{8} = \frac{\pi^{3}}{3}.
E
\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,\mathrm{d}t =\bigl.\sin t\bigr|_{0}^{\pi/2} =1-0 =1.

Passo 4

Reunindo e multiplicando por 2, obtemos
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(8t^{2}+\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t =2\Bigl(\frac{\pi^{3}}{3}+1\Bigr) =\frac{2}{3}\,\pi^{3}+2.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\pi^{3}+2

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