Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
\int_{0}^{1 / 3} x e^{3 x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1/3} x\,e^{3x}\,\mathrm{d}x
usando o método de integração por partes. Para isso, vamos escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = e^{3x}\,\mathrm{d}x.
Então
du = \mathrm{d}x, \quad v = \int e^{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du
no intervalo de 0 a 1/3, obtemos
\int_{0}^{1/3} x\,e^{3x}\,\mathrm{d}x = \Bigl[x\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\Bigr]_{0}^{1/3} - \int_{0}^{1/3} \frac{1}{3}e^{3x}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos o termo de fronteira:
\Bigl[x\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\Bigr]_{0}^{1/3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3\cdot(1/3)} - 0 = \frac{e}{9}.

Passo 5

Agora a integral restante:
\int_{0}^{1/3} \frac{1}{3}e^{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_{0}^{1/3} e^{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\biggl[\frac{1}{3}e^{3x}\biggr]_{0}^{1/3} = \frac{1}{9}\bigl(e - 1\bigr).

Passo 6

Subtraindo os dois resultados:
\frac{e}{9} \;-\;\frac{1}{9}(e-1) = \frac{e - (e-1)}{9} = \frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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