\int_{1}^{e}\left(1+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{e}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo necessário inclui a linearidade de integrais e as antiderivadas básicas \int 1\,\mathrm{d}x = x e \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln x.

Passo 2

Como a integral é linear, separamos em duas partes e achamos uma primitiva comum:
\int \Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)\,\mathrm{d}x = \int 1\,\mathrm{d}x \;+\;\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x + \ln x + C.

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva nos limites de 1 a e:
\bigl[x + \ln x\bigr]_{1}^{e} = \bigl(e + \ln e\bigr)\;-\;\bigl(1 + \ln 1\bigr) = (e + 1)\;-\;(1 + 0) = e.

Resposta

\displaystyle e

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