\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \operatorname{cotg}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \operatorname{cotg}^{3} x\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\operatorname{cotg}^{3} x,\quad \text{limites: }x=\frac{\pi}{6}\text{ a }x=\frac{\pi}{2}.
Pergunta: calcular o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Primeira manipulação útil: escrever \operatorname{cotg}^{3}x como produto para usar identidades trigonométricas simples. Observamos que
\operatorname{cotg}^{3}x=\operatorname{cotg}x\cdot\operatorname{cotg}^{2}x.
Usamos a identidade pitagórica para cotangente e cossecante:
1+\operatorname{cotg}^{2}x=\operatorname{cosec}^{2}x,
ou seja
\operatorname{cotg}^{2}x=\operatorname{cosec}^{2}x-1.
Substituindo na integral temos
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}^{3}x\,dx =\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}x\big(\operatorname{cosec}^{2}x-1\big)\,dx.
Agora expandimos:
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}x\operatorname{cosec}^{2}x\,dx -\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}x\,dx.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral
\int \operatorname{cotg}x\operatorname{cosec}^{2}x\,dx.
Escolhemos a substituição \displaystyle u=\operatorname{cotg}x. Explico por que:
derivando \operatorname{cotg}x obtemos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg}x\big)=-\operatorname{cosec}^{2}x,
portanto
du=-\operatorname{cosec}^{2}x\,dx\quad\Rightarrow\quad \operatorname{cosec}^{2}x\,dx=-du.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{cotg}x\operatorname{cosec}^{2}x\,dx =\int u\cdot(-du)=-\int u\,du.
Agora integramos -\int u\,du:
-\int u\,du=-\frac{u^{2}}{2}+C=-\frac{\operatorname{cotg}^{2}x}{2}+C.

Passo 4

Agora a segunda integral
\int \operatorname{cotg}x\,dx
pode ser vista como \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx. Fazemos a substituição simples v=\sin x, então dv=\cos x\,dx. Assim
\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\int \frac{dv}{v}=\ln|v|+C=\ln|\sin x|+C.
Observação: no intervalo \left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right] temos \sin x>0, então |\sin x|=\sin x, mas mantemos a forma \ln|\sin x| por rigor.

Passo 5

Somando as duas primitivadas encontramos uma antiderivada para o integrando original:
F(x)=-\frac{\operatorname{cotg}^{2}x}{2}-\ln|\sin x|+C.
Portanto a integral definida é
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}^{3}x\,dx=F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 6

Calculamos os valores necessários. Primeiro em x=\frac{\pi}{2}:
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Logo
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{0^{2}}{2}-\ln 1=0-0=0.
Agora em x=\frac{\pi}{6}:
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},
portanto \operatorname{cotg}^{2}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=3.
Também \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}, então \ln\big|\sin(\pi/6)\big|=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Assim
F\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{3}{2}-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 7

Subtraindo:
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\operatorname{cotg}^{3}x\,dx =F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{6}\right) =0-\Big(-\frac{3}{2}-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\Big) =\frac{3}{2}+\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, temos
\frac{3}{2} - \ln 2.

Resposta

\dfrac{3}{2}-\ln 2

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