Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Pergunta: calcular o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Primeira manipulação útil: escrever
como produto para usar identidades trigonométricas simples. Observamos que
Usamos a identidade pitagórica para cotangente e cossecante:
ou seja
Substituindo na integral temos
Agora expandimos:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral
Escolhemos a substituição
. Explico por que:
derivando obtemos
derivando
portanto
Substituindo na integral:
Agora integramos
:
Passo 4
Agora a segunda integral
pode ser vista como
. Fazemos a substituição simples
, então
. Assim
Observação: no intervalo
temos
, então
, mas mantemos a forma
por rigor.
Passo 5
Somando as duas primitivadas encontramos uma antiderivada para o integrando original:
Portanto a integral definida é
Passo 6
Calculamos os valores necessários. Primeiro em
:
Logo
Agora em
:
portanto
.
Também , então
.
Assim
Também
Assim
Passo 7
Subtraindo:
Como
, temos