Nos problemas de 7 a 12, suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
10.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
10.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Fourier da função estendida periodicamente:
O que nos pedem (implícito) é identificar a função
correspondente a essa série — isto é, escrever
numa forma fechada no intervalo fundamental e lembrar que ela é periódica fora dele. Informações relevantes que já temos:
- Os termos trigonométricos usam
e , o que indica período fundamental . - Aparecem fatores com
. Lembremos que . - Podemos esperar obter uma função em forma fechada no intervalo fundamental
(ou com atenção aos pontos de descontinuidade) e então estendê-la com período .
Passo 2
Vamos simplificar os coeficientes usando
e separar a série em duas somas mais tratáveis.
Primeiro, note que
que vale
para
par e
para
ímpar. Assim o termo de cosseno só contribui para
ímpar.
O termo de seno tem coeficiente
que está presente para todos os
(com sinal alternado).
Definimos duas somas:
Então
Passo 3
Para simplificar as somas, introduzimos a variável
Assim os argumentos ficam
e
. Reescrevendo:
- Como
anula termos pares, em fazemos (somente ímpares). Então
- Em
temos
Agora vamos calcular cada soma usando identidades clássicas de séries trigonométricas.
Passo 4
Cálculo de
. Usamos a identidade conhecida (valendo para
):
e a observação que multiplicar por
equivale a substituir
por
no somatório sem o sinal alternado, ou usar a identidade direta
(Na prática, pode-se derivar isso a partir da soma geométrica complexa ou da identidade anterior aplicando
e tratando os intervalos adequadamente.)
Portanto, para
(isto é, para
),
Logo, em
obtemos
Passo 5
Cálculo de
. Usamos a identidade para soma de cossenos sobre índices ímpares. Primeiro a identidade para todos os
(válida em
):
Agora separamos a soma em termos pares e ímpares. A soma sobre índices pares é
desde que
(ou seja
). Subtraindo, para
obtemos a soma sobre ímpares:
Como a soma sobre
com
ímpar é uma função par de
, a forma válida para
é
Substituindo em
:
Lembrando que
, temos
. Assim, para
(isto é,
),
Passo 6
Agora somamos as partes e a constante
. Para
,
Simplificando:
Devemos separar os casos
e
:
- Para
: , então
- Para
: , então
Verificações rápidas: em
ambos dão
. Nos extremos do intervalo fechado
há saltos, e a série de Fourier converge para a média dos limites laterais nesses pontos (por exemplo em
a série converge para
).
Passo 7
Concluímos que a função correspondente à série, na janela fundamental
, é a função afim por partes indicada acima. Como a série foi construída com frequência
, a função é periódica de período
. Portanto a extensão periódica de
é obtida repetindo esse padrão a cada
unidades.
Resposta
com extensão periódica de período
.]