Nos problemas de 7 a 12, suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
10.
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{6(1-\cos n \pi)}{n^{2} \pi^{2}} \cos \frac{n \pi x}{2}+\frac{2 \cos n \pi}{n \pi} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{2}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Fourier da função estendida periodicamente:
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{6(1-\cos n \pi)}{n^{2} \pi^{2}} \cos \frac{n \pi x}{2}+\frac{2 \cos n \pi}{n \pi}\sin \frac{n \pi x}{2}\right].
O que nos pedem (implícito) é identificar a função f(x) correspondente a essa série — isto é, escrever f(x) numa forma fechada no intervalo fundamental e lembrar que ela é periódica fora dele. Informações relevantes que já temos:
  • Os termos trigonométricos usam \cos\frac{n\pi x}{2} e \sin\frac{n\pi x}{2}, o que indica período fundamental T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4.
  • Aparecem fatores com \cos n\pi. Lembremos que \cos n\pi = (-1)^n.
  • Podemos esperar obter uma função em forma fechada no intervalo fundamental (-2,2) (ou [ -2,2] com atenção aos pontos de descontinuidade) e então estendê-la com período 4.

Passo 2

Vamos simplificar os coeficientes usando \cos n\pi = (-1)^n e separar a série em duas somas mais tratáveis.
Primeiro, note que
1-\cos n\pi = 1-(-1)^n,
que vale 0 para n par e 2 para n ímpar. Assim o termo de cosseno só contribui para n ímpar.
O termo de seno tem coeficiente
\frac{2\cos n\pi}{n\pi}=\frac{2(-1)^n}{n\pi},
que está presente para todos os n (com sinal alternado).
Definimos duas somas:
S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6(1-\cos n\pi)}{n^{2}\pi^{2}}\cos\frac{n\pi x}{2}, \qquad S_2(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cos n\pi}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2}.
Então
f(x)=\frac{1}{2}+S_1(x)+S_2(x).

Passo 3

Para simplificar as somas, introduzimos a variável
t=\frac{\pi x}{2}.
Assim os argumentos ficam \cos(n t) e \sin(n t). Reescrevendo:
  • Como 1-\cos n\pi anula termos pares, em S_1 fazemos n=2m-1 (somente ímpares). Então
S_1(x)=\frac{12}{\pi^{2}}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos\big((2m-1)t\big)}{(2m-1)^{2}} =\frac{12}{\pi^{2}}\sum_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{\cos(k t)}{k^{2}}.
  • Em S_2 temos
S_2(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(n t).
Agora vamos calcular cada soma usando identidades clássicas de séries trigonométricas.

Passo 4

Cálculo de S_2(x). Usamos a identidade conhecida (valendo para -\pi<t<\pi):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n t)}{n}=\frac{\pi-t}{2}\quad(0<t<2\pi),
e a observação que multiplicar por (-1)^n equivale a substituir t por t+\pi no somatório sem o sinal alternado, ou usar a identidade direta
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin(n t)}{n}=-\frac{t}{2}\qquad\text{para }- \pi<t<\pi.
(Na prática, pode-se derivar isso a partir da soma geométrica complexa ou da identidade anterior aplicando t\mapsto t+\pi e tratando os intervalos adequadamente.)
Portanto, para -\pi<t<\pi (isto é, para -2<x<2),
S_2(x)=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{t}{2}\right)=-\frac{t}{\pi}=-\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi x}{2}=-\frac{x}{2}.
Logo, em -2<x<2 obtemos
S_2(x)=-\frac{x}{2}.

Passo 5

Cálculo de S_1(x). Usamos a identidade para soma de cossenos sobre índices ímpares. Primeiro a identidade para todos os n (válida em 0\le t\le 2\pi):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n t)}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi t}{2}+\frac{t^{2}}{4}.
Agora separamos a soma em termos pares e ímpares. A soma sobre índices pares é
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m t)}{(2m)^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(m(2t))}{m^{2}} =\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi(2t)}{2}+\frac{(2t)^{2}}{4}\right)
desde que 0\le 2t\le 2\pi (ou seja 0\le t\le\pi). Subtraindo, para 0\le t\le\pi obtemos a soma sobre ímpares:
\sum_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{\cos(k t)}{k^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi t}{4}.
Como a soma sobre \cos(k t) com k ímpar é uma função par de t, a forma válida para |t|\le\pi é
\sum_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{\cos(k t)}{k^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi|t|}{4}\qquad\text{para }|t|\le\pi.
Substituindo em S_1:
S_1(x)=\frac{12}{\pi^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi|t|}{4}\right) =\frac{12}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8}-\frac{12}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi|t|}{4} =\frac{3}{2}-\frac{3|t|}{\pi}.
Lembrando que t=\frac{\pi x}{2}, temos |t|/\pi=|x|/2. Assim, para |x|\le 2 (isto é, -2\le x\le 2),
S_1(x)=\frac{3}{2}-\frac{3|x|}{2}.

Passo 6

Agora somamos as partes e a constante \tfrac12. Para -2<x<2,
f(x)=\frac{1}{2}+S_1(x)+S_2(x) =\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3|x|}{2}\right)+\left(-\frac{x}{2}\right).
Simplificando:
f(x)=2-\frac{3|x|+x}{2}.
Devemos separar os casos x\ge 0 e x<0:
  • Para 0\le x<2: |x|=x, então
f(x)=2-\frac{3x+x}{2}=2-\frac{4x}{2}=2-2x.
  • Para -2<x<0: |x|=-x, então
f(x)=2-\frac{-3x+x}{2}=2-\frac{-2x}{2}=2+x.
Verificações rápidas: em x=0 ambos dão f(0)=2. Nos extremos do intervalo fechado [-2,2] há saltos, e a série de Fourier converge para a média dos limites laterais nesses pontos (por exemplo em x=2 a série converge para \tfrac{f(2^-)+f(2^+)}{2}).

Passo 7

Concluímos que a função correspondente à série, na janela fundamental (-2,2), é a função afim por partes indicada acima. Como a série foi construída com frequência \frac{\pi}{2}, a função é periódica de período 4. Portanto a extensão periódica de f é obtida repetindo esse padrão a cada 4 unidades.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 2+x, & -2<x<0,\\[6pt] 2-2x, & 0<x<2, \end{cases}
com extensão periódica de período 4.]

Exercícios relacionados