Nos problemas de 7 a 12, suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
11. f(x)=\frac{1}{6}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2 \cos n \pi}{n^{2} \pi^{2}} \cos n \pi x-\frac{2-2 \cos n \pi+n^{2} \pi^{2} \cos n \pi}{n^{3} \pi^{3}} \operatorname{sen} n \pi x\right]
Passo 1
O enunciado dá a função estendida periodicamente cuja série de Fourier é
f(x)=\frac{1}{6}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2 \cos n \pi}{n^{2} \pi^{2}} \cos n \pi x-\frac{2-2 \cos n \pi+n^{2} \pi^{2} \cos n \pi}{n^{3} \pi^{3}} \sin n \pi x\right].
A tarefa é encontrar (ou simplificar) essa série de Fourier da função estendida.
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\\ \text{o somatório sobre }n\text{ contém fatores }\cos n\pi\text{ e }\sin n\pi x.
Esta identidade pode ser obtida a partir da série clássica de y^{2} em [- \pi,\pi] trocando y=\pi x, mas aqui eu uso-a como fato já conhecido. Multiplicando ambos os lados por \tfrac{1}{2} obtemos
Uma observação final de interpretação (rápida e direta): a série de senos restante envolve apenas senos de frequências ímpares (2k-1)\pi, e é convergente por p-critério com p=3. Portanto a expressão acima é uma forma simplificada e mais transparente da série dada originalmente; os termos polinomiais foram extraídos explicitamente.