\int_{0}^{3 \pi / 2}|\operatorname{sen} x| d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{3\pi/2} \left|\operatorname{sen} x\right|\,dx.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • O integrando é o valor absoluto de \operatorname{sen} x.
  • O intervalo de integração é [0,\;3\pi/2].

Passo 2

Primeiro precisamos saber onde \operatorname{sen} x é positivo ou negativo dentro de [0,\;3\pi/2]. Os zeros de \operatorname{sen} x ocorrem em x=0,\;\pi,\;2\pi,\ldots. Dentro do nosso intervalo aparecem x=0 e x=\pi.
Analisando o sinal:
  • Em [0,\;\pi] temos \operatorname{sen} x \ge 0 (no primeiro e segundo quadrantes a componente y é não negativa).
  • Em [\pi,\;3\pi/2] temos \operatorname{sen} x \le 0 (terceiro quadrante até 3\pi/2, a seno é negativa).
Portanto, o valor absoluto se comporta assim:
  • \left|\operatorname{sen} x\right|=\operatorname{sen} x em [0,\;\pi].
  • \left|\operatorname{sen} x\right|=-\operatorname{sen} x em [\pi,\;3\pi/2].

Passo 3

Usando essa decomposição do sinal, reescrevemos a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto:
\int_{0}^{3\pi/2} \left|\operatorname{sen} x\right|\,dx = \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx + \int_{\pi}^{3\pi/2} -\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Agora vamos calcular cada integral. Lembrete: uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x, porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen} x. Consequentemente, uma primitiva de -\operatorname{sen} x é \cos x.
Calcule a primeira integral:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx = \big[-\cos x\big]_{0}^{\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos 0\big).
Como \cos\pi=-1 e \cos 0=1, temos
\big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos 0\big) = (-(-1)) - (-(1)) = 1 - (-1) = 2.
Calcule a segunda integral:
\int_{\pi}^{3\pi/2} -\operatorname{sen} x\,dx = \big[\cos x\big]_{\pi}^{3\pi/2} = \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) - \cos\pi.
Como \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0 e \cos\pi=-1, segue
0 - (-1) = 1.

Passo 5

Somando as duas partes obtidas:
2 + 1 = 3.

Resposta

3

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