\int_{0}^{3 \pi / 2}|\operatorname{sen} x| d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- O integrando é o valor absoluto de
. - O intervalo de integração é
.
Passo 2
Primeiro precisamos saber onde
é positivo ou negativo dentro de
. Os zeros de
ocorrem em
. Dentro do nosso intervalo aparecem
e
.
Analisando o sinal:
- Em
temos (no primeiro e segundo quadrantes a componente y é não negativa). - Em
temos (terceiro quadrante até , a seno é negativa).
Portanto, o valor absoluto se comporta assim:
-
em . -
em .
Passo 3
Usando essa decomposição do sinal, reescrevemos a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto:
Passo 4
Agora vamos calcular cada integral. Lembrete: uma primitiva de
é
, porque
. Consequentemente, uma primitiva de
é
.
Calcule a primeira integral:
Como
e
, temos
Calcule a segunda integral:
Como
e
, segue
Passo 5
Somando as duas partes obtidas:
Resposta
3