\int_{1}^{2} \frac{(x-1){3}}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral definido
\int_{1}^{2} \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior).
  • A função integranda é \dfrac{(x-1)^{3}}{x^{2}}.
    Pergunta: calcular o valor numérico exato do integral definido acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a integranda para que seja fácil integrar termo a termo. Expandir o numerador (x-1)^{3} usando o binômio de Newton:
(x-1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1.
Agora dividir cada termo por x^{2}:
\frac{(x-1)^{3}}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{3x^{2}}{x^{2}} + \frac{3x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}.
Simplificando as potências:
\frac{(x-1)^{3}}{x^{2}} = x - 3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}}.
Isso transforma o integral em soma de integrais mais simples:
\int_{1}^{2} \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}}\,dx = \int_{1}^{2}\!\left(x - 3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)dx.

Passo 3

Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x^{n} significa a variável x elevada à potência n.
  • Integral de 1/x:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • A integral é linear: \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx. Isso permite integrar termo a termo.

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo à nossa expressão:
  • Para \int x\,dx, usar n=1: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.
  • Para \int -3\,dx: constante, \int -3\,dx = -3x.
  • Para \int \dfrac{3}{x}\,dx: fatorar 3 e usar \int 1/x = \ln|x|: \int \dfrac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|.
  • Para \int -\dfrac{1}{x^{2}}\,dx: escrever -\dfrac{1}{x^{2}} = -x^{-2} e usar potência com n=-2:
\int -x^{-2}\,dx = -\frac{x^{-1}}{-1} = +x^{-1} = \frac{1}{x}.
Somando tudo, uma primitiva (antiderivada) é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3x + 3\ln|x| + \frac{1}{x} + C.
Como os limites estão em [1,2] e x>0 nesse intervalo, podemos omitir as barras em \ln|x| e usar \ln x.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites e calcular F(2)-F(1).
Calcular F(2):
F(2) = \frac{2^{2}}{2} - 3\cdot 2 + 3\ln 2 + \frac{1}{2} = 2 - 6 + 3\ln 2 + \tfrac{1}{2}.
Somando os termos numéricos:
2 - 6 + \tfrac{1}{2} = -4 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{7}{2}.
Portanto
F(2) = -\tfrac{7}{2} + 3\ln 2.
Calcular F(1):
F(1) = \frac{1^{2}}{2} - 3\cdot 1 + 3\ln 1 + 1 = \tfrac{1}{2} - 3 + 0 + 1.
Somando:
\tfrac{1}{2} - 3 + 1 = \tfrac{1}{2} - 2 = -\tfrac{3}{2}.
Portanto F(1) = -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Subtrair F(2)-F(1):
\int_{1}^{2} \frac{(x-1)^{3}}{x^{2}}\,dx = F(2)-F(1) = \Big(-\tfrac{7}{2} + 3\ln 2\Big) - \Big(-\tfrac{3}{2}\Big).
Simplificando os termos racionais:
-\tfrac{7}{2} - \big(-\tfrac{3}{2}\big) = -\tfrac{7}{2} + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{4}{2} = -2.
Logo o resultado final é
-2 + 3\ln 2.

Resposta

-2 + 3\ln 2

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