\int_{1}^{2} \frac{(x-1){3}}{x{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral definido
Informações dadas:
- Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A função integranda é
.
Pergunta: calcular o valor numérico exato do integral definido acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a integranda para que seja fácil integrar termo a termo. Expandir o numerador
usando o binômio de Newton:
Agora dividir cada termo por
:
Simplificando as potências:
Isso transforma o integral em soma de integrais mais simples:
Passo 3
Lembrete das regras de integração que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra da potência: para
,
Aqui
significa a variável
elevada à potência
.
- Integral de
:
- A integral é linear:
. Isso permite integrar termo a termo.
Passo 4
Aplicar as regras termo a termo à nossa expressão:
- Para
, usar : . - Para
: constante, . - Para
: fatorar e usar : . - Para
: escrever e usar potência com :
Somando tudo, uma primitiva (antiderivada) é
Como os limites estão em
e
nesse intervalo, podemos omitir as barras em
e usar
.
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites e calcular
.
Calcular
:
Somando os termos numéricos:
Portanto
Calcular
:
Somando:
Portanto
.
Passo 6
Subtrair
:
Simplificando os termos racionais:
Logo o resultado final é