\int_{-1}^{2}(x-2|x|) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\bigl(x-2|x|\bigr)\,dx.
Informações dadas: o integrando envolve o valor absoluto |x|, e o intervalo de integração é de -1 até 2. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Entender o valor absoluto e onde a expressão muda. Lembre que o valor absoluto é definido por
|x|= \begin{cases} -x, & \text{se } x<0,\\[4pt] x, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
Portanto a expressão x-2|x| tem fórmulas diferentes para x<0 e para x\ge0. O ponto onde |x| muda é x=0. Como o intervalo de integração [-1,2] contém 0, devemos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 2.]

Passo 3

Escrever o integrando de forma peça‑a‑peça:
  • Para x<0: |x|=-x, então
x-2|x|=x-2(-x)=x+2x=3x.
  • Para x\ge0: |x|=x, então
x-2|x|=x-2x=-x.

Passo 4

Usar a propriedade de aditividade da integral em intervalos e escrever a integral como soma:
\int_{-1}^{2}\bigl(x-2|x|\bigr)\,dx = \int_{-1}^{0}3x\,dx+\int_{0}^{2}(-x)\,dx.
Também usamos aqui a linearidade da integral para separar constantes e sinais.

Passo 5

Encontrar antiderivadas (regra do poder): para x^n a antiderivada é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Assim:
  • Antiderivada de 3x é \dfrac{3}{2}x^{2}.
  • Antiderivada de -x é -\dfrac{1}{2}x^{2}.

Passo 6

Avaliar a primeira integral \displaystyle \int_{-1}^{0}3x\,dx usando a antiderivada \dfrac{3}{2}x^{2}:
\int_{-1}^{0}3x\,dx = \left.\dfrac{3}{2}x^{2}\right|_{-1}^{0} = \dfrac{3}{2}\cdot 0^{2}-\dfrac{3}{2}\cdot(-1)^{2} = 0-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Avaliar a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{2}(-x)\,dx usando a antiderivada -\dfrac{1}{2}x^{2}:
\int_{0}^{2}(-x)\,dx = \left.-\dfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{2} = -\dfrac{1}{2}\cdot 2^{2}-\bigl(-\dfrac{1}{2}\cdot 0^{2}\bigr) = -\dfrac{1}{2}\cdot 4-0 = -2.

Passo 8

Somar os resultados das duas parcelas:
-\dfrac{3}{2}+(-2)=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}=-\dfrac{7}{2}.
Interpretação rápida (opcional): o integrando é linear em cada tramo, então a integral corresponde à soma de áreas algébricas sob essas retas; o resultado negativo indica que a área abaixo do eixo x (com sinal negativo) prevalece.

Resposta

-\dfrac{7}{2}

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