1. \int_{\pi}^{2 \pi} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \theta \, d\theta
Isso envolve a técnica de integração de potências: usar a regra
\int \theta^n \, d\theta = \frac{\theta^{n+1}}{n+1} + C
com n=1.

Passo 2

Encontramos uma primitiva F(\theta) de \theta. Aplicando a regra do passo anterior com n=1, temos
F(\theta) = \int \theta \, d\theta = \frac{\theta^2}{2}.

Passo 3

Agora avaliamos F nos limites \pi e 2\pi:
F(2\pi) = \frac{(2\pi)^2}{2} = \frac{4\pi^2}{2} = 2\pi^2,
F(\pi) = \frac{\pi^2}{2}.

Passo 4

Subtraímos os valores de F nos extremos para obter a integral:
\int_{\pi}^{2\pi} \theta \, d\theta = F(2\pi) - F(\pi) = 2\pi^2 - \frac{\pi^2}{2} = \frac{4\pi^2 - \pi^2}{2} = \frac{3\pi^2}{2}.

Resposta

\frac{3\pi^2}{2}

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