\int_{0}^{\pi / 2} \theta^{2} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \theta^{2}\,d\theta.
O conteúdo é integração de potências e vamos precisar usar a fórmula do antiderivado para funções do tipo \theta^n.

Passo 2

Recordando que, para n\neq -1,
\int \theta^{n}\,d\theta = \frac{\theta^{n+1}}{n+1} + C,
aplicamos com n = 2. O antiderivado de \theta^2 é
\frac{\theta^{3}}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos o antiderivado de 0 até \pi/2:
\left.\frac{\theta^{3}}{3}\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{3} - \frac{1}{3}\bigl(0\bigr)^{3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi^{3}}{8} = \frac{\pi^{3}}{24}.

Resposta

\frac{\pi^{3}}{24}

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