\int_{0}^{2}\left(3 x^{2}+x-5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(3x^{2}+x-5\bigr)\,dx.
Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F'(x)=f(x) então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Logo, precisamos achar uma primitiva de 3x^{2}+x-5.

Passo 2

Para encontrar a primitiva, usamos as fórmulas
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \int c\,dx = c\,x.
Assim,
\int(3x^{2}+x-5)\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} \;+\;\frac{x^{2}}{2}\;-\;5x = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5x.
Podemos tomar
F(x) = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5x
como primitiva.

Passo 3

Avaliar F(2)-F(0):
F(2) = 2^{3} + \frac{2^{2}}{2} - 5\cdot 2 = 8 + 2 - 10 = 0,
F(0) = 0^{3} + \frac{0^{2}}{2} - 5\cdot 0 = 0.
Portanto,
\int_{0}^{2}(3x^{2}+x-5)\,dx = F(2) - F(0) = 0 - 0 = 0.

Resposta

0

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