1. \int_{0}^{\pi / 3} x \operatorname{tg}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/3} x\,\tan^{2}x\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso da identidade trigonométrica \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1 e, em seguida, integração por partes para o termo que envolve x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Aplicamos a identidade \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1 dentro da integral:
\int_{0}^{\pi/3} x\,\tan^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi/3} x\bigl(\operatorname{sec}^{2}x - 1\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/3} x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx \;-\; \int_{0}^{\pi/3} x\,dx.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \int x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx por partes. Escolhemos
u = x,\quad dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = \tan x.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\,\tan x \;-\;\int \tan x\,dx = x\,\tan x \;+\;\ln\bigl|\cos x\bigr|
pois \displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 4

A outra integral é imediata:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Reunindo os resultados,
\int_{0}^{\pi/3} x\,\tan^{2}x\,dx = \Bigl[x\,\tan x + \ln\bigl|\cos x\bigr|\Bigr]_{0}^{\pi/3} \;-\;\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/3}.
Calculando em x = \pi/3:
x\,\tan x = \frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}, \quad \ln\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{3})\bigr| = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln2, \quad \tfrac{x^{2}}{2} = \frac{(\pi/3)^{2}}{2} = \frac{\pi^{2}}{18}.
Em x=0 todos os termos valem zero. Logo,
\int_{0}^{\pi/3} x\,\tan^{2}x\,dx = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \;-\;\ln2 \;-\;\frac{\pi^{2}}{18}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/3} x\,\tan^{2}x\,dx = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \;-\;\ln2 \;-\;\frac{\pi^{2}}{18}.

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