Exercício 5. Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}-2 x-8}{\left(x^{2}-5 x+6\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{x^{2}-2x-8}{\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2}}. Trata-se de um limite unilaterial que gera forma “constante sobre zero”, indicando que o valor pode divergir para \pm\infty. Vamos fatorar numerador e denominador para analisar o comportamento e o sinal perto de x=2^+.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o polinômio dentro do quadrado no denominador:
x^{2}-2x-8 = (x-4)(x+2),
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3),
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\frac{x^{2}-2x-8}{\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2}} = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)^{2}\,(x-3)^{2}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to2^+:
  • O numerador tende a (2-4)(2+2)=(-2)\cdot4=-8.
  • O denominador tende a (2-2)^{2}\,(2-3)^{2}=0^{2}\cdot1=0, e sendo um quadrado, é sempre positivo para x\neq2.
Portanto o quociente é um número negativo dividido por um valor positivo que vai a zero, o que faz o limite divergir para -\infty.

Resposta

\lim_{x\to2^+}\frac{x^{2}-2x-8}{\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2}} = -\infty.

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