Q5
\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{0}^{1} \frac{1}{\bigl(x^{3}+3x^{2}+3x+1\bigr)}\,dx
que envolve manipulação algébrica e aplicação da regra de potência para integração.

Passo 2

Note que
x^{3}+3x^{2}+3x+1 = (x+1)^{3},
portanto o integrando fica \tfrac{1}{(x+1)^{3}}.

Passo 3

Reescrevendo a integral, temos
\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx = \int_{0}^{1} (x+1)^{-3}\,dx.

Passo 4

Para integrar (x+1)^{-3}, usamos a regra de potência: se
F(x) = \int (x+1)^{n}\,dx,
então F(x) = \tfrac{(x+1)^{n+1}}{n+1} + C (para n\neq -1). Aqui n=-3, de modo que
F(x) = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} + C = -\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2} + C.

Passo 5

Avaliaremos F nos limites 0 e 1:
F(1) = -\tfrac{1}{2}\,(2)^{-2} = -\tfrac{1}{8}, \quad F(0) = -\tfrac{1}{2}\,(1)^{-2} = -\tfrac{1}{2}.
Logo,
\int_{0}^{1} (x+1)^{-3}\,dx = F(1) - F(0) = -\tfrac{1}{8} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{3}{8}.

Resposta

\tfrac{3}{8}

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