\int_{0}^{\pi} x^{3} \sin x d x=\pi^{3}-6 \pi

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{\pi} x^{3}\sin x \,dx
para a qual vamos usar o método de integração por partes repetidas vezes.

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes: escolhemos
u = x^{3},\quad dv = \sin x\,dx
portanto
du = 3x^{2}\,dx,\quad v = -\cos x.
Isso nos dá a identidade
\int x^{3}\sin x\,dx = -x^{3}\cos x + \int 3x^{2}\cos x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int x^{2}\cos x\,dx.
Aplicando integração por partes de novo com
u = x^{2},\quad dv = \cos x\,dx
vem
du = 2x\,dx,\quad v = \sin x,
logo
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int 2x\sin x\,dx.
Substituindo na expressão anterior com o fator 3, obtemos
\int x^{3}\sin x\,dx = -x^{3}\cos x + 3\bigl(x^{2}\sin x - \int 2x\sin x\,dx\bigr).

Passo 4

Falta ainda
\int x\sin x\,dx.
Mais uma vez por partes, com
u = x,\quad dv = \sin x\,dx
temos
du = dx,\quad v = -\cos x,
portanto
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Voltando à antiderivada geral,
\int x^{3}\sin x\,dx = -x^{3}\cos x + 3x^{2}\sin x -6\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr),
que simplifica para
F(x) = -x^{3}\cos x +3x^{2}\sin x +6x\cos x -6\sin x.

Passo 5

Avaliaremos a integral definida usando F(x):
\int_{0}^{\pi} x^{3}\sin x\,dx = F(\pi) - F(0).
Em x=\pi temos
F(\pi) = -\pi^{3}\cos\pi +3\pi^{2}\sin\pi +6\pi\cos\pi -6\sin\pi = -\pi^{3}(-1) +0 +6\pi(-1) -0 = \pi^{3}-6\pi.
Em x=0 cada termo de F(0) é zero, logo F(0)=0.

Resposta

\int_{0}^{\pi} x^{3}\sin x\,dx = \pi^{3} - 6\pi.

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