\int_{0}^{3} \sin \left(\frac{x}{3}\right) d x=3(1-\cos 1)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{0}^{3} \sin\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição: vamos trocar a variável para simplificar o argumento do seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{x}{3}, \quad dx = 3\,du.
Quando x=0, u=0; quando x=3, u=1. Assim a integral fica
\int_{0}^{3} \sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\,dx = \int_{0}^{1} \sin(u)\,\bigl(3\,du\bigr) = 3 \int_{0}^{1} \sin(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
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3 \int_{0}^{1} \sin(u)\,du = 3 \Bigl[-\cos(u)\Bigr]_{0}^{1} = 3\bigl(-\cos(1) - (-\cos(0))\bigr) = 3\bigl(-\cos(1) + 1\bigr).

Resposta

\int_{0}^{3} \sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\,dx = 3\bigl(1 - \cos(1)\bigr).

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