\int \sin ^{-1} x d x=x \sin ^{-1} x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle\int \sin^{-1}x\,dx. A gente vai usar integração por partes e depois fazer uma substituição simples para a integral que sobrar.

Passo 2

Então, definimos u = \sin^{-1}x e dv = dx.
Daí
du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \quad\text{e}\quad v = x.
Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du

Passo 3

Isso dá
\int \sin^{-1}x\,dx = x\,\sin^{-1}x - \int x\,\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 4

Para resolver \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, fazemos a substituição t = 1 - x^2, logo dt = -2x\,dx, ou seja
x\,dx = -\tfrac12\,dt.
Então
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\tfrac12\int t^{-1/2}\,dt = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}.

Passo 5

Voltando à expressão original:
\int \sin^{-1}x\,dx = x\,\sin^{-1}x - \bigl(-\sqrt{1 - x^2}\bigr) = x\,\sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C.

Resposta

\int \sin^{-1}x\,dx = x\,\sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C.

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