\int e^{-x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int e^{-x}\cos x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de produto de exponencial e função trigonométrica, e a técnica mais direta é aplicar o método de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Denotemos
I = \int e^{-x}\cos x\,dx.
Na primeira aplicação de integração por partes, escolhemos
u = e^{-x}, \quad dv = \cos x\,dx.
Então
du = -e^{-x}dx, \quad v = \sin x,
e pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du temos
I = e^{-x}\sin x \;-\; \int \sin x\,(-e^{-x}dx) = e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\sin x\,dx.

Passo 3

Chame
J = \int e^{-x}\sin x\,dx.
Para J, fazemos outra integração por partes com
u = e^{-x}, \quad dv = \sin x\,dx,
portanto
du = -e^{-x}dx, \quad v = -\cos x,
e obtemos
J = e^{-x}(-\cos x) - \int (-\cos x)(-e^{-x}dx) = -\,e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\cos x\,dx = -\,e^{-x}\cos x - I.

Passo 4

Voltando à expressão de I, temos
I = e^{-x}\sin x + J = e^{-x}\sin x + \bigl(-e^{-x}\cos x - I\bigr),
ou seja
I = e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x - I.
Somando I dos dois lados surge
2I = e^{-x}\bigl(\sin x - \cos x\bigr).

Passo 5

Dividindo por 2, concluímos
I = \frac{e^{-x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int e^{-x}\cos x\,dx = \frac{e^{-x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C.

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