1. \int \sin ^{3} x d x
  2. \int \sin ^{5} x \cos ^{2} d x
  3. \int \sqrt{\sin x} \cos ^{3} x d x
  4. \int \cos ^{498} y \sin ^{3} y d y

Passo 1

O que temos aqui são quatro integrais que envolvem potências de \sin e \cos. O truque que vamos usar em cada caso é identificar uma das funções com potência ímpar, isolar um fator que combine com o du de uma substituição adequada e converter o restante em termos da outra função usando a identidade
\sin^2 t + \cos^2 t = 1.
Assim, cada integral vira um polinômio em u que fica fácil de integrar.

Passo 2

Integral 1: \displaystyle \int \sin^3 x\,dx.
Escrevemos
\sin^3 x = \sin x\,(1-\cos^2 x)
e fazemos u=\cos x, logo du = -\sin x\,dx. Assim
\int \sin^3 x\,dx = \int \sin x\,(1-\cos^2 x)\,dx = -\int (1-u^2)\,du = -\Bigl(u - \tfrac{u^3}{3}\Bigr)+C.
Voltando a x:
\int \sin^3 x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C.

Passo 3

Integral 2: \displaystyle \int \sin^5 x\,\cos^2 x\,dx.
Isolamos um \sin x para usar u=\cos x:
\sin^5 x \,\cos^2 x = \sin^4 x\;\sin x\;\cos^2 x = (1-\cos^2 x)^2\,\sin x\,\cos^2 x.
Com u=\cos x e du=-\sin x\,dx, fica
\int \sin^5 x\,\cos^2 x\,dx = -\int (1-u^2)^2\,u^2\,du = -\int \bigl(u^2 - 2u^4 + u^6\bigr)\,du = -\Bigl(\tfrac{u^3}{3} - \tfrac{2u^5}{5} + \tfrac{u^7}{7}\Bigr)+C.
Voltando:
\int \sin^5 x\,\cos^2 x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C.

Passo 4

Integral 3: \displaystyle \int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx.
Note que \cos^3 x = \cos^2 x\;\cos x = (1-\sin^2 x)\cos x. Fazendo u=\sin x, du=\cos x\,dx, obtemos
\int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx = \int u^{1/2}\,(1-u^2)\,du = \int \bigl(u^{1/2} - u^{5/2}\bigr)\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{7}u^{7/2} + C.
Logo
\int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx = \frac{2}{3}\sin^{3/2}x - \frac{2}{7}\sin^{7/2}x + C.

Passo 5

Integral 4: \displaystyle \int \cos^{498}y\,\sin^3 y\,dy.
Escrevemos \sin^3 y = \sin^2 y\,\sin y = (1-\cos^2 y)\sin y. Com u=\cos y, du=-\sin y\,dy, fica
\int \cos^{498}y\,\sin^3 y\,dy = -\int u^{498}\,(1-u^2)\,du = -\int \bigl(u^{498} - u^{500}\bigr)\,du = -\Bigl(\frac{u^{499}}{499} - \frac{u^{501}}{501}\Bigr)+C.
Voltando a y:
\int \cos^{498}y\,\sin^3 y\,dy = -\frac{\cos^{499}y}{499} + \frac{\cos^{501}y}{501} + C.

Resposta

  1. \displaystyle \int \sin^3 x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C.
  2. \displaystyle \int \sin^5 x\,\cos^2 x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C.
  3. \displaystyle \int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx = \frac{2}{3}\sin^{3/2}x - \frac{2}{7}\sin^{7/2}x + C.
  4. \displaystyle \int \cos^{498}y\,\sin^3 y\,dy = -\frac{\cos^{499}y}{499} + \frac{\cos^{501}y}{501} + C.

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