\int \sqrt{t^{2}-2 t^{4}} d t

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \sqrt{t^{2}-2 t^{4}}\,dt.
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz pode ser fatorada como t^{2}(1-2t^{2}).
  • Para a raiz quadrada ser real precisamos de t^{2}(1-2t^{2})\ge 0, isto é, ou t=0 ou 1-2t^{2}\ge 0. Logo o integrando é real para |t|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Ao simplificar a raiz aparecerá \sqrt{t^{2}}=|t|. Isso gera a necessidade de tratar os casos t\ge 0 e t\le 0 separadamente (pois |t|=t se t\ge0 e |t|=-t se t\le0).
  • A resposta final será uma antiderivada válida em intervalos onde o sinal de t é fixo (por exemplo em [0,1/\sqrt{2}] e em [-1/\sqrt{2},0]).

Passo 2

Simplificar o integrando usando fatoração:
\sqrt{t^{2}-2t^{4}}=\sqrt{t^{2}(1-2t^{2})}=\sqrt{t^{2}}\;\sqrt{1-2t^{2}}=|t|\sqrt{1-2t^{2}}.
Explicação didática: a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} vale para a,b\ge0. Como t^{2}\ge0 temos \sqrt{t^{2}}=|t|. Por isso aparece o valor absoluto.

Passo 3

Decisão sobre o método: vamos resolver separando os casos do sinal de t, porque o valor absoluto complica a substituição direta. Isso é natural e rápido:
  • Se t\ge0 então |t|=t e o integrando é t\sqrt{1-2t^{2}}.
  • Se t\le0 então |t|=-t e o integrando é -t\sqrt{1-2t^{2}}.
Vou calcular as duas primitivas (uma para cada caso) usando a mesma substituição simples.

Passo 4

Caso t\ge 0 (então |t|=t). Temos que calcular
\int t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt.
Escolha da substituição: note que a parte dentro da raiz é 1-2t^{2}. Se definirmos
u=1-2t^{2},
então differentiando obtemos
du = -4t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = -\frac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral:
\int t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt = \int \sqrt{u}\left(-\frac{1}{4}\,du\right) = -\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.
Agora integramos u^{1/2}: a regra é \displaystyle\int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C (para p\neq -1). Aqui p=\tfrac{1}{2}, então
-\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = -\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = -\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{1}{6}u^{3/2}+C.
Voltando para t usando u=1-2t^{2}:
\int t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt = -\frac{1}{6}\bigl(1-2t^{2}\bigr)^{3/2}+C,
válido para t\ge 0 (e na região onde |t|\le 1/\sqrt{2} para que a raiz seja real).

Passo 5

Caso t\le 0 (então |t|=-t). Agora a integral é
\int -t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt.
Usamos a mesma substituição u=1-2t^{2}, de modo que du=-4t\,dt. Repare que
-t\,dt = \frac{1}{4}\,du.
Portanto
\int -t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt = \int \sqrt{u}\left(\frac{1}{4}\,du\right) = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.
Integramos como antes:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{1}{6}u^{3/2}+C.
Voltando para t:
\int -t\sqrt{1-2t^{2}}\,dt = \frac{1}{6}\bigl(1-2t^{2}\bigr)^{3/2}+C,
válido para t\le 0 (e onde |t|\le 1/\sqrt{2}).

Passo 6

Unificar as duas expressões: podemos escrever a primitiva em forma compacta usando a função sinal \operatorname{sgn}(t), lembrando que \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0, \operatorname{sgn}(t)=-1 se t<0. Observando os resultados dos dois casos, uma forma unificada é
F(t)=-\frac{\operatorname{sgn}(t)}{6}\bigl(1-2t^{2}\bigr)^{3/2}+C,
válida em qualquer intervalo onde o sinal de t é fixo (por exemplo (0,1/\sqrt{2}] ou [-1/\sqrt{2},0)), e com a condição |t|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}} para que a expressão sob a raiz seja não negativa.

Resposta

-\dfrac{1}{6}\bigl(1-2t^{2}\bigr)^{3/2}+C,\quad t\ge 0,\\ |t|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\n \dfrac{1}{6}\bigl(1-2t^{2}\bigr)^{3/2}+C,\quad t\le 0,\\ |t|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}

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