Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão dentro da raiz pode ser fatorada como
. - Para a raiz quadrada ser real precisamos de
, isto é, ou ou . Logo o integrando é real para . - Ao simplificar a raiz aparecerá
. Isso gera a necessidade de tratar os casos e separadamente (pois se e se ). - A resposta final será uma antiderivada válida em intervalos onde o sinal de
é fixo (por exemplo em e em ).
Passo 2
Simplificar o integrando usando fatoração:
Explicação didática: a propriedade
vale para
. Como
temos
. Por isso aparece o valor absoluto.
Passo 3
Decisão sobre o método: vamos resolver separando os casos do sinal de
, porque o valor absoluto complica a substituição direta. Isso é natural e rápido:
- Se
então e o integrando é . - Se
então e o integrando é .
Vou calcular as duas primitivas (uma para cada caso) usando a mesma substituição simples.
Passo 4
Caso
(então
). Temos que calcular
Escolha da substituição: note que a parte dentro da raiz é
. Se definirmos
então differentiando obtemos
Substituindo na integral:
Agora integramos
: a regra é
(para
). Aqui
, então
Voltando para
usando
:
válido para
(e na região onde
para que a raiz seja real).
Passo 5
Caso
(então
). Agora a integral é
Usamos a mesma substituição
, de modo que
. Repare que
Portanto
Integramos como antes:
Voltando para
:
válido para
(e onde
).
Passo 6
Unificar as duas expressões: podemos escrever a primitiva em forma compacta usando a função sinal
, lembrando que
se
,
se
. Observando os resultados dos dois casos, uma forma unificada é
válida em qualquer intervalo onde o sinal de
é fixo (por exemplo
ou
), e com a condição
para que a expressão sob a raiz seja não negativa.