Passo 1
O enunciado pede calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Queremos uma primitiva
tal que .
Nada mais é pedido além de encontrar essa primitiva (e lembrar da constante de integração).
Passo 2
Ideia do método — por que fazer a substituição?
Observa que o numerador é justamente a derivada de
. O denominador é
, então se fizermos a substituição
vamos transformar o integrando numa forma muito simples. Em geral, se
e
, então
Observa que o numerador
Aqui temos exatamente esse padrão.
Passo 3
Fazer a substituição explicada:
Defina
Defina
Agora calcule o diferencial
. Como a derivada de
é
, obtemos
Isso significa que
. Note que trocamos o pedaço do numerador e o
por
.
Passo 4
Reescrever a integral em
:
Substituindo e
na integral original, obtemos
Substituindo
Agora a integral ficou numa forma padrão muito conhecida.
Passo 5
Integrar
:
A primitiva de em relação a
é o logaritmo natural. Especificamente,
A primitiva de
onde
é a constante de integração. Aqui é costume incluir valor absoluto porque a função
exige
. No nosso caso, porém,
para todo
, então o valor absoluto é desnecessário e podemos escrever simplesmente
.
Passo 6
Voltar à variável original
:
Substituindo de volta, a primitiva em termos de
é
Substituindo
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova):
Diferenciando usando a regra da cadeia:
Diferenciando
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta.