\int \frac{e^{x}}{e^{x}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada:
\int \frac{e^{x}}{e^{x}+4}\,dx.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \,e^{x}\,.
  • O denominador é \,e^{x}+4\,.
  • Queremos uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+4}.
    Nada mais é pedido além de encontrar essa primitiva (e lembrar da constante de integração).

Passo 2

Ideia do método — por que fazer a substituição?
Observa que o numerador \,e^{x}\, é justamente a derivada de \,e^{x}\,. O denominador é \,e^{x}+4, então se fizermos a substituição \,u = e^{x}+4\, vamos transformar o integrando numa forma muito simples. Em geral, se \,u=g(x)\, e \,du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui temos exatamente esse padrão.

Passo 3

Fazer a substituição explicada:
Defina
u = e^{x}+4.
Agora calcule o diferencial du. Como a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,, obtemos
du = e^{x}\,dx.
Isso significa que \,e^{x}\,dx = du\,. Note que trocamos o pedaço do numerador e o dx por du.

Passo 4

Reescrever a integral em u:
Substituindo \,u = e^{x}+4\, e \,du = e^{x}\,dx\, na integral original, obtemos
\int \frac{e^{x}}{e^{x}+4}\,dx = \int \frac{du}{u}.
Agora a integral ficou numa forma padrão muito conhecida.

Passo 5

Integrar \int \dfrac{du}{u}:
A primitiva de \dfrac{1}{u} em relação a u é o logaritmo natural. Especificamente,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Aqui é costume incluir valor absoluto porque a função \dfrac{1}{u} exige u\neq0. No nosso caso, porém, u=e^{x}+4>0 para todo x, então o valor absoluto é desnecessário e podemos escrever simplesmente \ln(u)+C.

Passo 6

Voltar à variável original x:
Substituindo u = e^{x}+4 de volta, a primitiva em termos de x é
\ln\big(e^{x}+4\big) + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova):
Diferenciando \ln\big(e^{x}+4\big) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\big(e^{x}+4\big) = \frac{1}{e^{x}+4}\cdot \frac{d}{dx}(e^{x}+4) = \frac{1}{e^{x}+4}\cdot e^{x} = \frac{e^{x}}{e^{x}+4},
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\ln\big(e^{x}+4\big)+C

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