1. \int \sqrt{a^{2}-u^{2}} d u=\frac{u}{2} \sqrt{a^{2}-u^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{u}{a}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{a^{2}-u^{2}}\\ d u
usando técnicas de substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição u = a\sin\theta porque transforma a raiz \sqrt{a^{2}-u^{2}} em algo proporcional a \cos\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição u = a\sin\theta, temos
du = a\cos\theta\\ d\theta
e
\sqrt{a^{2}-u^{2}} = \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} = a\sqrt{1-\sin^{2}\theta} = a\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int \sqrt{a^{2}-u^{2}}\\ d u = \int \bigl(a\cos\theta\bigr)\,\bigl(a\cos\theta\\ d\theta\bigr) = a^{2}\int \cos^{2}\theta\\ d\theta.
Usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
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a^{2}\int \cos^{2}\theta\\ d\theta = \frac{a^{2}}{2}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\\ d\theta = \frac{a^{2}}{2}\Bigl(\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)+C.

Passo 4

Voltando para a variável u:
  1. Como u = a\sin\theta, temos
\theta = \sin^{-1}\!\frac{u}{a}.
  1. E
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{u}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}{a} = \frac{2u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}{a^{2}}.
Substituindo em \frac{a^{2}}{2}\bigl(\theta + \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\bigr), obtemos
\frac{a^{2}}{2}\,\theta + \frac{a^{2}}{4}\,\sin(2\theta) = \frac{a^{2}}{2}\,\sin^{-1}\!\frac{u}{a} + \frac{a^{2}}{4}\,\frac{2u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\!\frac{u}{a} + \frac{u}{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}.

Resposta

\int \sqrt{a^{2}-u^{2}}\\ d u = \frac{u}{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\!\frac{u}{a} + C.

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