1. \int \sqrt{u^{2}-a^{2}} d u=\frac{u}{2} \sqrt{u^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \ln \left|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\right|+C

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du,
que envolve uma raiz de expressão quadrática. Para resolver, vamos usar integração por partes e, depois, uma integral padrão do tipo \int du/\sqrt{u^{2}-a^{2}}.

Passo 2

Defina
I = \int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du.
Aplicando integração por partes, tome f = \sqrt{u^{2}-a^{2}} e dg = du.
Então
df = \frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du, \quad g = u.
Logo
I = f\,g - \int g\,df = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \int u \,\frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \int \frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.

Passo 3

No integrando, escreva u^{2} = (u^{2}-a^{2}) + a^{2}. Assim,
\frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} = \sqrt{u^{2}-a^{2}} + \frac{a^{2}}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
Então
I = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du - a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.
Como a primeira integral é I novamente, temos
I = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - I - a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du \;\;\Longrightarrow\;\; 2I = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.

Passo 4

A integral restante é conhecida:
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du = \ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C_{1}.
Substituindo em 2I e dividindo por 2, obtemos
I = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C.

Resposta

\int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C.

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