\int \sqrt{u^{2}-a^{2}} d u=\frac{u}{2} \sqrt{u^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \ln \left|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\right|+C
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du,
que envolve uma raiz de expressão quadrática. Para resolver, vamos usar integração por partes e, depois, uma integral padrão do tipo \int du/\sqrt{u^{2}-a^{2}}.
Passo 2
Defina
I = \int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du.
Aplicando integração por partes, tome f = \sqrt{u^{2}-a^{2}} e dg = du.
Então
df = \frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du, \quad g = u.
Logo
I = f\,g - \int g\,df = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \int u \,\frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du = u\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \int \frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.
Passo 3
No integrando, escreva u^{2} = (u^{2}-a^{2}) + a^{2}. Assim,