Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
e pede que mostremos/justifiquemos por que ela é verdadeira.
Informações/pressupostos que vou usar (não peço nada a você, apenas declaro as hipóteses necessárias):
Informações/pressupostos que vou usar (não peço nada a você, apenas declaro as hipóteses necessárias):
-
são funções integráveis (por exemplo, diferenciáveis) de uma mesma variável. - A notação
aparece no enunciado, mas a variável de integração é indiferente (a integral indefinida usa uma variável “coringa”). Vou explicar abaixo por que isso não gera problema.
Passo 2
Primeiro, explicação sobre notação (muito importante para não se confundir na prova): a expressão
trata
como a variável de integração; no entanto, a letra usada para a variável é irrelevante — podemos renomear a variável sem mudar o valor da integral indefinida (desde que a notação seja consistente). Assim, é equivalente trabalhar com
onde
são funções de
. Usarei essa forma para provar a propriedade, porque fica mais claro que
são funções e
é a variável.
Passo 3
Definição útil: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
é uma função
tal que
. A integral indefinida é a família de todas as primitivas:
Vou usar essa ideia para montar a prova: se encontrarmos primitivas para
, podemos somá‑las e ver o que acontece.
Passo 4
Propriedade da derivada que precisamos (fácil e a mais básica): a derivada é linear, isto é, para quaisquer funções diferenciáveis
e
e constantes
,
Aplicando essa regra com
,
e depois com
, obtemos
Passo 5
Agora escolha primitivas de
: sejam
tais que
Pela linearidade da derivada (Passo 4),
Isto mostra que
é uma primitiva de
.
Passo 6
Pelo que foi visto, as integrais indefinidas são iguais até uma constante. Escrevendo explicitamente as integrais:
Somando/subtraindo as três últimas expressões obtemos
Como
é apenas mais uma constante arbitrária, podemos chamar essa soma de
. Logo as duas expressões coincidem (têm a mesma primitiva, até uma constante).
Passo 7
Conclusão clara e didática: a igualdade
vale porque a operação de integração indefinida é linear — proveniente da linearidade da derivada — e as constantes de integração podem ser agrupadas num único
. Como a letra usada para a variável é irrelevante (variável de integração é um símbolo), isso é equivalente à forma escrita no enunciado com
.
Passo 8
Exemplo concreto e rápido para fixar (faça isso durante a prova para checar): suponha
,
,
. Então
E
que coincide com o resultado anterior, confirmando a propriedade na prática.