\int(u+v-w) d u=\int u d u+\int v d u-\int w d u

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\int (u+v-w)\,du = \int u\,du + \int v\,du - \int w\,du
e pede que mostremos/justifiquemos por que ela é verdadeira.
Informações/pressupostos que vou usar (não peço nada a você, apenas declaro as hipóteses necessárias):
  • u,v,w são funções integráveis (por exemplo, diferenciáveis) de uma mesma variável.
  • A notação \,du aparece no enunciado, mas a variável de integração é indiferente (a integral indefinida usa uma variável “coringa”). Vou explicar abaixo por que isso não gera problema.

Passo 2

Primeiro, explicação sobre notação (muito importante para não se confundir na prova): a expressão \int f\,du trata u como a variável de integração; no entanto, a letra usada para a variável é irrelevante — podemos renomear a variável sem mudar o valor da integral indefinida (desde que a notação seja consistente). Assim, é equivalente trabalhar com
\int (u(x)+v(x)-w(x))\,dx,
onde u(x),v(x),w(x) são funções de x. Usarei essa forma para provar a propriedade, porque fica mais claro que u,v,w são funções e x é a variável.

Passo 3

Definição útil: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f(x) é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). A integral indefinida é a família de todas as primitivas:
\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad\text{onde }F'(x)=f(x).
Vou usar essa ideia para montar a prova: se encontrarmos primitivas para u(x),v(x),w(x), podemos somá‑las e ver o que acontece.

Passo 4

Propriedade da derivada que precisamos (fácil e a mais básica): a derivada é linear, isto é, para quaisquer funções diferenciáveis A(x) e B(x) e constantes a,b,
\bigl(aA(x)+bB(x)\bigr)' = aA'(x)+bB'(x).
Aplicando essa regra com a=1, b=1 e depois com b=-1, obtemos
\bigl(A(x)+B(x)-C(x)\bigr)' = A'(x)+B'(x)-C'(x).

Passo 5

Agora escolha primitivas de u,v,w: sejam U(x),V(x),W(x) tais que
U'(x)=u(x),\qquad V'(x)=v(x),\qquad W'(x)=w(x).
Pela linearidade da derivada (Passo 4),
\bigl(U(x)+V(x)-W(x)\bigr)' = U'(x)+V'(x)-W'(x) = u(x)+v(x)-w(x).
Isto mostra que U(x)+V(x)-W(x) é uma primitiva de u(x)+v(x)-w(x).

Passo 6

Pelo que foi visto, as integrais indefinidas são iguais até uma constante. Escrevendo explicitamente as integrais:
\int (u(x)+v(x)-w(x))\,dx = U(x)+V(x)-W(x) + C_0,
\int u(x)\,dx = U(x) + C_1,\qquad \int v(x)\,dx = V(x) + C_2,\qquad \int w(x)\,dx = W(x) + C_3.
Somando/subtraindo as três últimas expressões obtemos
\int u(x)\,dx + \int v(x)\,dx - \int w(x)\,dx = \bigl(U(x)+V(x)-W(x)\bigr) + (C_1+C_2-C_3).
Como C_1+C_2-C_3 é apenas mais uma constante arbitrária, podemos chamar essa soma de C_0. Logo as duas expressões coincidem (têm a mesma primitiva, até uma constante).

Passo 7

Conclusão clara e didática: a igualdade
\int (u(x)+v(x)-w(x))\,dx = \int u(x)\,dx + \int v(x)\,dx - \int w(x)\,dx
vale porque a operação de integração indefinida é linear — proveniente da linearidade da derivada — e as constantes de integração podem ser agrupadas num único C. Como a letra usada para a variável é irrelevante (variável de integração é um símbolo), isso é equivalente à forma escrita no enunciado com \,du.

Passo 8

Exemplo concreto e rápido para fixar (faça isso durante a prova para checar): suponha u(x)=x, v(x)=2x, w(x)=3. Então
\int (x+2x-3)\,dx = \int (3x-3)\,dx = \tfrac{3}{2}x^2-3x + C.
E
\int x\,dx + \int 2x\,dx - \int 3\,dx = \tfrac{1}{2}x^2 + \bigl(2\cdot\tfrac{1}{2}x^2\bigr) - 3x + C' = \tfrac{3}{2}x^2-3x + C',
que coincide com o resultado anterior, confirmando a propriedade na prática.

Resposta

\displaystyle \int (u+v-w)\,du = \int u\,du + \int v\,du - \int w\,du

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