A variável x tende para 3 pela direita (ou seja, x>3 e x\to3^{+}).
A expressão é um produto entre (x-3)^{4} e \cos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\right).
A função \cos é bem definida para todo argumento real, mas aqui o argumento \dfrac{1}{\sqrt{x-3}} tende para +\infty quando x\to3^{+}. Isso faz \cos oscilar rapidamente entre -1 e 1.
O que se pede: calcular o limite e justificar os passos cuidadosamente.
Passo 2
Entender o comportamento dos fatores separadamente quando x\to3^{+}.
Para o fator (x-3)^{4}: como x\to3^{+} temos x-3\to 0^{+}. Portanto
(x-3)^{4}\to 0.
Para o fator \cos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\right): quando x\to3^{+} temos \sqrt{x-3}\to 0^{+}, logo \dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\to +\infty. A função \cos(t) não tem limite quando t\to+\infty; ela oscila entre -1 e 1. Então o segundo fator permanece oscilando, sem limite próprio, mas sempre com valores dentro do intervalo [-1,1].
Esses dois fatos juntos sugerem que um fator vai para 0 (rápido) enquanto o outro fica limitado entre -1 e 1. Isso é o cenário clássico para aplicar o Teorema do Confronto (squeeze).
Passo 3
Aplicar uma desigualdade simples usando valor absoluto e o fato de que \cos é limitado.
Sabemos que, para todo número real t,
-1 \le \cos t \le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}} (válido para x>3) obtemos
(Fazendo uma interpretação intuitiva: o fator (x-3)^{4} domina e força o produto a zero, mesmo que \cos oscile.)
Passo 5
Comentário extra e exemplo análogo (para fixar a ideia).
Um exemplo muito parecido, frequentemente usado em exercícios, é
\lim_{t\to 0} t\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)=0,
porque |t\sin(1/t)|\le |t| e |t|\to0. A lógica é exatamente a mesma: um fator que tende a zero anula a oscilação do outro fator limitado.
Força aí — esse tipo de limite costuma cair várias vezes na prova, e a receita é: procurar um fator que vá a zero e usar que o outro fator é limitado, aplicando o Teorema do Confronto.