Calcule o limite a seguir (justificando os passos cuidadosamente)
\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x-3)^{4} \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 3^{+}}(x-3)^{4}\cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende para 3 pela direita (ou seja, x>3 e x\to3^{+}).
  • A expressão é um produto entre (x-3)^{4} e \cos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\right).
  • A função \cos é bem definida para todo argumento real, mas aqui o argumento \dfrac{1}{\sqrt{x-3}} tende para +\infty quando x\to3^{+}. Isso faz \cos oscilar rapidamente entre -1 e 1.
  • O que se pede: calcular o limite e justificar os passos cuidadosamente.

Passo 2

Entender o comportamento dos fatores separadamente quando x\to3^{+}.
  • Para o fator (x-3)^{4}: como x\to3^{+} temos x-3\to 0^{+}. Portanto
(x-3)^{4}\to 0.
  • Para o fator \cos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\right): quando x\to3^{+} temos \sqrt{x-3}\to 0^{+}, logo \dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\to +\infty. A função \cos(t) não tem limite quando t\to+\infty; ela oscila entre -1 e 1. Então o segundo fator permanece oscilando, sem limite próprio, mas sempre com valores dentro do intervalo [-1,1].
Esses dois fatos juntos sugerem que um fator vai para 0 (rápido) enquanto o outro fica limitado entre -1 e 1. Isso é o cenário clássico para aplicar o Teorema do Confronto (squeeze).

Passo 3

Aplicar uma desigualdade simples usando valor absoluto e o fato de que \cos é limitado.
Sabemos que, para todo número real t,
-1 \le \cos t \le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}} (válido para x>3) obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por (x-3)^{4}, que é não negativo para x>3, resulta
-(x-3)^{4} \le (x-3)^{4}\cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right) \le (x-3)^{4}.
Isto pode ser escrito de forma compacta usando valor absoluto:
\left|(x-3)^{4}\cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right)\right|\le (x-3)^{4}.

Passo 4

Usar o Teorema do Confronto (Squeeze theorem).
O Teorema do Confronto diz: se g(x)\le f(x)\le h(x) para x perto de um ponto e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}f(x)=L.
Aqui podemos tomar
g(x)=-(x-3)^{4},\qquad f(x)=(x-3)^{4}\cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right),\qquad h(x)=(x-3)^{4}.
Já vimos que g(x)\le f(x)\le h(x) para x>3. Além disso,
\lim_{x\to3^{+}}g(x)=\lim_{x\to3^{+}}-(x-3)^{4}=0, \qquad \lim_{x\to3^{+}}h(x)=\lim_{x\to3^{+}}(x-3)^{4}=0.
Como as duas funções extremas têm o mesmo limite 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x\to3^{+}}(x-3)^{4}\cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right)=0.
(Fazendo uma interpretação intuitiva: o fator (x-3)^{4} domina e força o produto a zero, mesmo que \cos oscile.)

Passo 5

Comentário extra e exemplo análogo (para fixar a ideia).
Um exemplo muito parecido, frequentemente usado em exercícios, é
\lim_{t\to 0} t\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)=0,
porque |t\sin(1/t)|\le |t| e |t|\to0. A lógica é exatamente a mesma: um fator que tende a zero anula a oscilação do outro fator limitado.
Força aí — esse tipo de limite costuma cair várias vezes na prova, e a receita é: procurar um fator que vá a zero e usar que o outro fator é limitado, aplicando o Teorema do Confronto.

Resposta

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