Os seguintes dados foram obtidos para a reação enzimática de transformação de um substrato ( S ) em produto §:
[\mathrm{S}](\mathrm{M}) \mathrm{v}(\mathrm{nmoles} / \mathrm{L} . \mathrm{min})
6,25 \times 10^{-6} 15,00
7,50 \times 10^{-5} 56,25
1,00 \times 10^{-4} 60,00
1,00 \times 10^{-3} 74,90
1,00 \times 10^{-2} 75,00
a) Calcule Vmax Km .
b) Qual seria v com [\mathrm{S}]=2,5 \times 10^{-5} \mathrm{Me} com [\mathrm{S}]=5,0 \times 10^{-5} \mathrm{M} ?
c) Qual seria v com [\mathrm{S}]=5,0 \times 10^{-5} \mathrm{M} se a concentração da enzima fosse o dobro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
  • [S]=6,25\times10^{-6}\\ \text{M}, v=15,00\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
  • [S]=7,50\times10^{-5}\\ \text{M}, v=56,25\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
  • [S]=1,00\times10^{-4}\\ \text{M}, v=60,00\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
  • [S]=1,00\times10^{-3}\\ \text{M}, v=74,90\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
  • [S]=1,00\times10^{-2}\\ \text{M}, v=75,00\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
O enunciado pede:
a) Calcular V_{\max} e K_m.
b) Calcular v para [S]=2,5\times10^{-5}\\ \text{M} e para [S]=5,0\times10^{-5}\\ \text{M}.
c) Calcular v para [S]=5,0\times10^{-5}\\ \text{M} se a concentração de enzima for o dobro.

Passo 2

Apresentar a equação que vamos usar e explicar cada termo (mini-aula rápida).
A equação de Michaelis–Menten é:
v = \dfrac{V_{\max}[S]}{K_m + [S]}
onde:
  • v é a velocidade inicial da reação (unidade: \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1} no nosso caso);
  • V_{\max} é a velocidade máxima quando a enzima está saturada de substrato;
  • [S] é a concentração de substrato (em \text{M});
  • K_m é a constante de Michaelis (a concentração de substrato na qual v = \tfrac{1}{2}V_{\max}); tem unidade de concentração (M).
Dica prática para estimar V_{\max} e K_m a partir dos dados: quando [S] é muito grande comparado com K_m, v aproxima-se de V_{\max}. No conjunto dado a velocidade parece atingir um platô em torno de 75\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1} para [S]=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{M} e [S]=1{,}0\times10^{-2}\\ \text{M}. Portanto uma boa estimativa inicial é
V_{\max}\approx 75\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.

Passo 3

Encontrar K_m usando a mesma equação rearranjada. Podemos isolar K_m:
K_m = \dfrac{V_{\max}[S]}{v} - [S].
Usando um ponto onde a medida de v não está no platô extremo (para reduzir erro), por exemplo o ponto [S]=7{,}50\times10^{-5}\\ \text{M} com v=56{,}25.
Calcule passo a passo:
\dfrac{V_{\max}}{v} = \dfrac{75}{56{,}25} = 1{,}333333\ldots
\dfrac{V_{\max}[S]}{v} = 1{,}333333\ldots \times 7{,}50\times10^{-5} = 1{,}00\times10^{-4}
K_m = 1{,}00\times10^{-4} - 7{,}50\times10^{-5} = 2{,}50\times10^{-5}\\ \text{M}.
Verificação rápida (calcular K_m com outros pontos próximos): usando [S]=1{,}00\times10^{-4}\\ \text{M}, v=60{,}00,
\dfrac{75}{60{,}00}=1{,}25\quad\Rightarrow\quad \dfrac{75\cdot1{,}00\times10^{-4}}{60}=1{,}25\times10^{-4},
K_m=1{,}25\times10^{-4}-1{,}00\times10^{-4}=2{,}50\times10^{-5}\\ \text{M},
e usando [S]=6{,}25\times10^{-6},\\ v=15{,}00:
\dfrac{75}{15}=5\quad\Rightarrow\quad 5\times6{,}25\times10^{-6}=31{,}25\times10^{-6},
K_m=31{,}25\times10^{-6}-6{,}25\times10^{-6}=25\times10^{-6}=2{,}50\times10^{-5}\\ \text{M}.
Os três pontos baixos dão consistentemente K_m=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{M}. Excelente — temos estimativa consistente.
Conclusão desta etapa:
V_{\max}=75\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1},\qquad K_m=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{M}.

Passo 4

Calcular as velocidades pedidas em (b) usando a fórmula de Michaelis–Menten com os parâmetros encontrados.
Fórmula (já conhecida):
v = \dfrac{V_{\max}[S]}{K_m+[S]}.
Para [S]=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{M}:
v = \dfrac{75\cdot 2{,}5\times10^{-5}}{2{,}5\times10^{-5}+2{,}5\times10^{-5}} = \dfrac{75\cdot 2{,}5\times10^{-5}}{5{,}0\times10^{-5}} =75\cdot\dfrac{1}{2}=37{,}5\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
Para [S]=5{,}0\times10^{-5}\\ \text{M}:
v = \dfrac{75\cdot 5{,}0\times10^{-5}}{2{,}5\times10^{-5}+5{,}0\times10^{-5}} = \dfrac{75\cdot 5{,}0\times10^{-5}}{7{,}5\times10^{-5}} =75\cdot\dfrac{5}{7{,}5}=75\cdot\dfrac{2}{3}=50{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.

Passo 5

Responder (c): efeito de dobrar a concentração de enzima.
Propriedade importante (mini-aula curta): V_{\max} é proporcional à concentração total de enzima [E]_0. K_m independe de [E]_0 (assumindo mesma química cinética). Logo, se a enzima dobrar, V_{\max} dobra e K_m permanece igual.
Como antes para [S]=5{,}0\times10^{-5}\\ \text{M} tínhamos v=50{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1} com V_{\max}=75. Se dobrarmos a enzima, V_{\max}=150\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1} e:
v = \dfrac{150\cdot 5{,}0\times10^{-5}}{2{,}5\times10^{-5}+5{,}0\times10^{-5}} =150\cdot\dfrac{2}{3}=100{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
Alternativamente, é imediato ver que dobrar [E] dobra v em regime não saturado — então v passa de 50{,}0 para 100{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.

Resposta

a) V_{\max}=75\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1},; K_m=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{M}
b) Para [S]=2{,}5\times10^{-5}\\ \text{M}: v=37{,}5\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}. \nPara [S]=5{,}0\times10^{-5}\\ \text{M}: v=50{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.
c) Com enzima em dobro e [S]=5{,}0\times10^{-5}\\ \text{M}: v=100{,}0\\ \text{nmol L}^{-1}\text{ min}^{-1}.

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