\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}= ?
\vec{F}=\left(4 x^{3}-y, x+h(y)\right), \quad h(y) \in C^{1}
Onde C é o arco parametrizado por: x=2(1+\cos t)
y=3 \sin t
\operatorname{com} t \in[0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde
\displaystyle \vec F=(4x^3-y,\;x+h(y))
e C é o arco parametrizado por
x(t)=2\bigl(1+\cos t\bigr),\quad y(t)=3\sin t,\quad t\in[0,\pi].
O conteúdo aqui é integral de linha em campo vetorial usando parametrização; vamos precisar calcular dx, dy e decompor a integral em partes que sejam primitivas de x e de y.

Passo 2

Da parametrização obtemos
dx = x'(t)\,dt = -2\sin t\,dt,\quad dy = y'(t)\,dt = 3\cos t\,dt.
Logo
\vec F\cdot d\vec r =(4x^3 - y)\,dx \;+\;(x+h(y))\,dy.
A integral torna-se
\int_{0}^{\pi}\bigl(4x^3 - y\bigr)\,dx +\int_{0}^{\pi}x\,dy +\int_{0}^{\pi}h(y)\,dy.

Passo 3

Reescrevendo em primitivas:
\int 4x^3\,dx = x^4, \quad \int h(y)\,dy = H(y)\quad\bigl(H'(y)=h(y)\bigr),
e a parte mista
-\int y\,dx + \int x\,dy = \int\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).

Passo 4

Avaliação das primitivas de x e de H(y):
\bigl[x^4\bigr]_{t=0}^{t=\pi} = x(\pi)^4 - x(0)^4 =0^4 - 4^4 =-256,
\bigl[H(y)\bigr]_{t=0}^{t=\pi} = H\bigl(y(\pi)\bigr)-H\bigl(y(0)\bigr) =H(0)-H(0)=0.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{\pi}(x\,dy - y\,dx):
x\,dy - y\,dx =\bigl[2(1+\cos t)\bigr]\cdot(3\cos t\,dt) - (3\sin t)\cdot(-2\sin t\,dt) =(6\cos t+6)\,dt.
Logo
\int_{0}^{\pi}(6\cos t+6)\,dt =6\bigl[\sin t + t\bigr]_{0}^{\pi} =6(0+\pi -0-0) =6\pi.

Passo 6

Somando todas as parcelas:
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\bigl(x^4\big|_{0}^{\pi}\bigr) +\int(x\,dy - y\,dx) +\bigl(H(y)\big|_{0}^{\pi}\bigr) =-256 + 6\pi + 0.

Resposta

\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = -256 + 6\pi.

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