Questão 2- Calcule a integral:
(1 pt)
\int x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\cos^2 x\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a identidade trigonométrica para \cos^2 x e, em seguida, a técnica de integração por partes.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2},
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\int x\cos^2 x\,dx = \int x\;\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Calculemos a primeira integral simples:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Então a contribuição dessa parte é
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Agora calculemos
\int x\cos(2x)\,dx
por partes. Escolhemos
u = x,\quad dv = \cos(2x)\,dx
du = dx,\quad v = \int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin(2x)}{2}.
Pela fórmula de partes,
\int x\cos(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\frac{\sin(2x)}{2} - \int \frac{\sin(2x)}{2}\,dx.

Passo 5

Continuando a segunda parte:
\int \frac{\sin(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \sin(2x)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{\cos(2x)}{2}\Bigr) = -\frac{\cos(2x)}{4}.
Portanto
\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x\sin(2x)}{2} - \Bigl(-\frac{\cos(2x)}{4}\Bigr) = \frac{x\sin(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4}.
Multiplicando por \tfrac12 (conforme o passo 2), essa parte fica
\frac{1}{2}\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x\sin(2x)}{4} + \frac{\cos(2x)}{8}.

Passo 6

Juntando tudo:
\int x\cos^2 x\,dx = \frac{x^2}{4} + \Bigl(\frac{x\sin(2x)}{4} + \frac{\cos(2x)}{8}\Bigr) + C = \frac{x^2}{4} + \frac{x\sin(2x)}{4} + \frac{\cos(2x)}{8} + C.

Resposta

\frac{x^2}{4} + \frac{x\sin(2x)}{4} + \frac{\cos(2x)}{8} + C.

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