Questão 2- Calcule a integral:
(1 \mathrm{pt})
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes em integrais definidas.

Passo 2

Aplicamos integração por partes a
\int_{0}^{1}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx.
Escolhendo
u = x^{2}+1,\quad dv = e^{-x}\,dx
temos
du = 2x\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Logo,
\int_{0}^{1}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = \Bigl[-(x^{2}+1)e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Agora calculamos
\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,dx
por partes, com
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx
du = dx,\quad v = -e^{-x}.
Então
\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,dx = \Bigl[-x\,e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}(-e^{-x})\,dx = \Bigl[-x\,e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[e^{-x}\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliar os limites:
\Bigl[-x\,e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} = -\frac{1}{e} - 0 = -\frac{1}{e}, \quad \Bigl[e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{e}-1.
Somando,
\int_{0}^{1}x\,e^{-x}\,dx = -\frac{1}{e} + \frac{1}{e} - 1 = -1 + 0 = -1.
(Revendo: atenção ao sinal—de fato obtém-se -2/e+1.)

Passo 4

Voltando à integral original, temos
\int_{0}^{1}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = \Bigl[-(x^{2}+1)e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} + 2\Bigl(-\tfrac{2}{e}+1\Bigr).
Avaliações:
\Bigl[-(x^{2}+1)e^{-x}\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl[-2\,e^{-1}\Bigr] - \Bigl[-1\Bigr] = -\frac{2}{e} + 1.
Então
\int_{0}^{1}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = \Bigl(-\tfrac{2}{e}+1\Bigr) + 2\Bigl(-\tfrac{2}{e}+1\Bigr) = -\frac{2}{e}+1 - \frac{4}{e} +2 = 3 - \frac{6}{e}.

Resposta

3 - \frac{6}{e}

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