1. \left.\int \frac{\sqrt[3]{\tan ^{2} x} d x}{\cos ^{2} x} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \left\lvert\, \operatorname{resp} . \quad \frac{3}{5}(\operatorname{tg} x)^{5 / 3}+C\right.\right)
  2. \int \frac{d x}{2 \operatorname{sen}^{2} x+3 \cos ^{2} x} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\left(\right. resp. \left.\frac{1}{\sqrt{6}} \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{2}{3}} \operatorname{tg} x\right)+C\right)

Passo 1

Temos a integral
\int \frac{\sqrt[3]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}\,dx.
Repare que \sqrt[3]{\tan^{2}x}=(\tan x)^{2/3} e que 1/\cos^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x. O conteúdo aqui é usar a substituição u=\tan x, pois du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 2

Fazendo u=\tan x temos
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{\cos^{2}x}=du.
A integral vira
\int (\tan x)^{2/3}\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\int u^{2/3}\,du.
Integrando em u,
\int u^{2/3}\,du =\frac{u^{5/3}}{5/3}+C =\frac{3}{5}u^{5/3}+C.

Passo 3

Agora consideramos
\int \frac{dx}{2\sin^{2}x+3\cos^{2}x}.
O denominador pode ser reescrito como
2\sin^{2}x+3\cos^{2}x =2(1-\cos^{2}x)+3\cos^{2}x =2+\cos^{2}x.
Usaremos a substituição t=\tan x, pois aí dt=\operatorname{sec}^{2}x\,dx e \cos^{2}x=1/(1+t^{2}).

Passo 4

Fazendo t=\tan x, dx=dt/(1+t^{2}) e
2+\cos^{2}x =2+\frac{1}{1+t^{2}} =\frac{2(1+t^{2})+1}{1+t^{2}} =\frac{3+2t^{2}}{1+t^{2}}.
A integral torna-se
\int \frac{dx}{2+\cos^{2}x} =\int \frac{dt/(1+t^{2})}{(3+2t^{2})/(1+t^{2})} =\int \frac{dt}{3+2t^{2}}.

Passo 5

Escreva
\int \frac{dt}{3+2t^{2}} =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\tfrac{3}{2}+t^{2}}.
Como \tfrac{3}{2}=(\sqrt{3/2})^{2}, temos
\int \frac{dt}{t^{2}+(\sqrt{3/2})^{2}} =\frac{1}{\sqrt{3/2}}\arctan\!\bigl(t/\sqrt{3/2}\bigr)+C.
Multiplicando por 1/2
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{6}},
e t/\sqrt{3/2}=\tan x\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{6}}\;\arctan\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\tan x\Bigr)+C.

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