\int_{0}^{1}-2 x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{1} -2\,x\,e^{-x^{2}}\,dx
que envolve uma expressão da forma f'(x)e^{f(x)}. Vamos usar a técnica de substituição para simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = -x^{2}, \quad du = -2\,x\,dx,
vemos que o diferencial du coincide com o fator -2x\,dx presente na integral.

Passo 3

Quando x=0, temos u=0; quando x=1, temos u=-1. Portanto a integral fica
\int_{0}^{1} -2\,x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=-1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{-1} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{-1} = e^{-1}-e^{0} = \frac{1}{e}-1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e} - 1

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