\int_{1}^{3}\left(1+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{1}^{3}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx
Aqui vamos usar a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo, encontrando uma primitiva de 1 + \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Usando a propriedade de soma de integrais, temos
\int\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx.
Sabemos que
\int 1\,dx = x + C \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
Como x>0 no intervalo [1,3], podemos escrever a primitiva
F(x) = x + \ln x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{3}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = F(3) - F(1).
Calculando cada termo:
F(3) = 3 + \ln 3, \quad F(1) = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1.
Logo,
\int_{1}^{3}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = (3 + \ln 3) - 1 = 2 + \ln 3.

Resposta

2 + \ln 3

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