\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos2x\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integral de soma de funções elementares; vamos usar a propriedade de linearidade para separar a integral.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1}{2}\,dx \;+\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1}{2}\cos2x\,dx.

Passo 3

Calculamos as antiderivadas de cada termo:
\int \tfrac12\,dx = \tfrac{x}{2}, \qquad \int \tfrac12\cos2x\,dx = \tfrac12\cdot \frac{\sin2x}{2} = \frac{\sin2x}{4}.
Portanto, uma primitiva comum é
F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4}.

Passo 4

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)-F(0) = \Bigl(\tfrac{\pi/2}{2} + \tfrac{\sin\pi}{4}\Bigr) - \Bigl(0 + \tfrac{\sin0}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{4} + 0 - 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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