5- \int \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de \sqrt{x}\,dx. Para resolver, vamos usar a regra de potência para integrais de monômios.

Passo 2

Reescrevemos \sqrt{x} como x^{1/2}, transformando a integral em
\int x^{1/2}\,dx

Passo 3

A regra de potência diz que, para n \neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aqui n = \tfrac12. Então
n + 1 = \frac12 + 1 = \frac32
e
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C

Passo 5

Dividir por \tfrac32 equivale a multiplicar por \tfrac23. Assim,
\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}
logo a integral fica
\frac{2}{3}x^{3/2} + C

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2} + C

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