Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
A tarefa é encontrar uma função
tal que
, isto é, a antiderivada indefinida (mais uma constante de integração).
Passo 2
Observação-chave (sem resolver ainda): o integrando tem uma parte
e um fator multiplicativo
. Muitas vezes, quando vemos uma função composta
e o derivado do “algo” aparece multiplicando, faz sentido tentar uma substituição que transforme a integral numa mais simples. Aqui vamos testar isso explicitamente.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Derivando
em relação a
temos
Multiplicando por
obtemos
Isso é ótimo porque o fator
aparece exatamente no integrando original — então podemos substituir de forma direta.
Passo 4
Usando a substituição e a relação entre diferenciais, trocamos variáveis na integral:
Explicando passo a passo: substituímos
por
e
por
, então a integral fica só em
, muito mais simples.
Passo 5
Agora integramos em
. Vamos usar a regra de potência para integrais: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
, logo
Expliquei a regra porque é uma ferramenta padrão: você aumenta o expoente em
e divide pelo novo expoente.
Passo 6
Voltamos à variável original
(retro-substituição). Lembrando que
, temos como primitiva em
a função
Explico por que isso resolve o problema: a integral indefinida é qualquer primitiva
cuja derivada dê o integrando.
Passo 7
Checagem rápida por diferenciação (para você aprender a verificar suas respostas na prova): calculamos
usando a regra da cadeia. Seja
Derivando,
A derivada de
é
, então
que é exatamente o integrando original. Beleza — nossa primitiva está correta.