\int 3 x^{2}\left(x^{3}-5\right)^{7} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 3x^{2}\left(x^{3}-5\right)^{7}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
\text{integrando} = 3x^{2}\left(x^{3}-5\right)^{7}, \qquad \text{variável de integração} = x.áçã
A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=3x^{2}\left(x^{3}-5\right)^{7}, isto é, a antiderivada indefinida (mais uma constante de integração).

Passo 2

Observação-chave (sem resolver ainda): o integrando tem uma parte \left(x^{3}-5\right)^{7} e um fator multiplicativo 3x^{2}. Muitas vezes, quando vemos uma função composta \left(\text{algo}\right)^{n} e o derivado do “algo” aparece multiplicando, faz sentido tentar uma substituição que transforme a integral numa mais simples. Aqui vamos testar isso explicitamente.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^{3}-5.
Agora calculamos o diferencial \mathrm{d}u. Derivando u em relação a x temos
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 3x^{2}.
Multiplicando por \mathrm{d}x obtemos
\mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x.
Isso é ótimo porque o fator 3x^{2}\,\mathrm{d}x aparece exatamente no integrando original — então podemos substituir de forma direta.

Passo 4

Usando a substituição e a relação entre diferenciais, trocamos variáveis na integral:
\int 3x^{2}\left(x^{3}-5\right)^{7}\,\mathrm{d}x = \int \left(u\right)^{7}\,\mathrm{d}u.
Explicando passo a passo: substituímos \left(x^{3}-5\right) por u e 3x^{2}\,\mathrm{d}x por \mathrm{d}u, então a integral fica só em u, muito mais simples.

Passo 5

Agora integramos em u. Vamos usar a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=7, logo
\int u^{7}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{8}}{8} + C.
Expliquei a regra porque é uma ferramenta padrão: você aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente.

Passo 6

Voltamos à variável original x (retro-substituição). Lembrando que u=x^{3}-5, temos como primitiva em x a função
F(x)=\frac{\left(x^{3}-5\right)^{8}}{8} + C.
Explico por que isso resolve o problema: a integral indefinida é qualquer primitiva F(x) cuja derivada dê o integrando.

Passo 7

Checagem rápida por diferenciação (para você aprender a verificar suas respostas na prova): calculamos F'(x) usando a regra da cadeia. Seja
F(x)=\frac{1}{8}\left(x^{3}-5\right)^{8}.
Derivando,
F'(x)=\frac{1}{8}\cdot 8\left(x^{3}-5\right)^{7}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{3}-5\right).
A derivada de x^{3}-5 é 3x^{2}, então
F'(x)=\left(x^{3}-5\right)^{7}\cdot 3x^{2},
que é exatamente o integrando original. Beleza — nossa primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\left(x^{3}-5\right)^{8}}{8}+C

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