Para construir, sāo realizadas algumas etapas, uma delas é a construção do telhado. Durante a construção do telhado, foram colocadas as telhas, sem a devida fixação. Antes de fixar o telhado, aconteceu um vendaval com ventos de até 126 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Considere a densidade do ar igual a 1,29 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que a área do telhado foi de 75 \mathrm{~m}^{2}. Despreze a espessura das telhas e a resistência do ar e use a aceleração de queda livre igual a 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a menor massa do telhado para as telhas não voarem?

Passo 1

O problema pede: determinar a menor massa do telhado para que as telhas não voem durante um vendaval. Informações fornecidas:
\; velocidade máxima do vento: 126\\ \mathrm{km/h}
\; densidade do ar: \rho=1{,}29\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\; área do telhado: A=75\\ \mathrm{m^{2}}
\; aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}
\; despreze a espessura das telhas e a resistência do ar (usar aproximações indicadas).

Passo 2

Entendimento físico (explicação didática): o vento exerce sobre uma superfície uma pressão dinâmica associada ao seu movimento. Essa pressão dinâmica é dada pela fórmula
q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2},
onde q é a pressão (em pascal, \mathrm{N/m^{2}}), \rho é a densidade do fluido (aqui o ar) e v é a velocidade do vento. Essa expressão vem de uma forma simplificada do princípio de Bernoulli para fluxo incompressível: a energia cinética por unidade de volume do ar gera uma pressão sobre a superfície. Aqui estamos assumindo que essa pressão age de modo a tentar levantar o telhado (ou as telhas), e que não há coeficiente adicional de sustentação — por isso usamos diretamente q.

Passo 3

Converter a velocidade para unidades do Sistema Internacional: \,126\\ \mathrm{km/h} em \mathrm{m/s}.
126\\ \mathrm{km/h}=126\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a pressão dinâmica substituindo na fórmula \,q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
q=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}29\cdot 35^{2}.
Calcule passo a passo: 35^{2}=1225. Então
q=0{,}5\cdot 1{,}29\cdot 1225=0{,}645\cdot 1225=790{,}125\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 5

Encontrar a força total que o vento exerce sobre o telhado: F=qA.
F=790{,}125\cdot 75=59\,259{,}375\\ \mathrm{N}.
Unidades: \mathrm{N/m^{2}}\times\mathrm{m^{2}}=\mathrm{N}.

Passo 6

Condição para as telhas não voarem: o peso do telhado P=mg deve ser pelo menos igual à força ascendente do vento F. Assim
mg \ge F \quad\Rightarrow\quad m \ge \frac{F}{g}.
Então a menor massa necessária é dada por
m=\frac{F}{g}=\frac{59\,259{,}375}{9{,}81}.

Passo 7

Calcular numericamente m:
m\approx \frac{59\,259{,}375}{9{,}81}\approx 6\,039{,}7\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com sentido prático, a menor massa do telhado é aproximadamente 6{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}, ou cerca de 6{,}04 toneladas.

Passo 8

Comentário rápido (para a prova): usamos a pressão dinâmica simples \tfrac{1}{2}\rho v^{2} e igualamos à força peso. Na prática real haveria coeficientes aerodinâmicos, efeito da inclinação do telhado, fixações locais etc., mas para o exercício essa aproximação é a esperada.

Resposta

m\approx 6{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados