Use manipulações algébricas e (se necessário) uma substituição u para integrar a funçăo.
\int \frac{x+2}{x+1} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função racional
\int \frac{x+2}{x+1}\,dx
Isso envolve o conteúdo de integração de funções racionais via divisão algébrica de polinômios (ou soma de frações parciais) e, se necessário, substituição simples.

Passo 2

Fazemos a divisão de x+2 por x+1:
x+2 = (x+1) + 1
Logo,
\frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa decomposição:
\int \frac{x+2}{x+1}\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

A primeira parte é imediata:
\int 1\,dx = x + C_1.
Para a segunda, usamos a substituição \displaystyle u = x+1, de modo que du = dx, e obtemos
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C_2 = \ln\lvert x+1\rvert + C_2.

Passo 5

Somando as duas parcelas e absorvendo C_1 e C_2 em uma única constante C, temos
\int \frac{x+2}{x+1}\,dx = x + \ln\lvert x+1\rvert + C.

Resposta

x + \ln\lvert x+1\rvert + C

Exercícios relacionados