\int e^{x} \operatorname{senh}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\,\operatorname{senh}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição envolvendo função exponencial e função hiperbólica.

Passo 2

Perceba que a derivada de e^{x} é justamente e^{x}. Então fazemos a substituição
u = e^{x}.
Dessa forma,
du = e^{x}\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int e^{x}\,\operatorname{senh}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx =\int \operatorname{senh}(u)\,du.

Passo 4

Agora basta lembrar que a integral da função hiperbólica seno é o cosseno hiperbólico, ou seja,
\int \operatorname{senh}(u)\,du = \operatorname{cosh}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pelo fato de u=e^{x}, obtemos
\operatorname{cosh}(u) + C = \operatorname{cosh}\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\int e^{x}\,\operatorname{senh}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \operatorname{cosh}\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Exercícios relacionados