\int \frac{\operatorname{sen} 3 x}{2+\cos 3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin 3x}{2 + \cos 3x}\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de substituição para reescrever a integral como algo do tipo \int du/u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2 + \cos 3x,
porque seu diferencial envolve \sin 3x\,dx, justamente o numerador da nossa integral.

Passo 3

Derivando u em relação a x temos
du = -3\,\sin 3x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin 3x\,dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \frac{\sin 3x}{2 + \cos 3x}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{3}\,du}{u} = -\frac{1}{3}\,\int \frac{du}{u}.

Passo 5

Sabendo que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C,
temos
-\frac{1}{3}\,\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 6

Voltando à variável x, substituímos u = 2 + \cos 3x:
-\frac{1}{3}\,\ln\bigl|2 + \cos 3x\bigr| + C.
Como 2 + \cos 3x varia entre 1 e 3, sempre positivo, podemos remover o valor absoluto:
-\frac{1}{3}\,\ln\bigl(2 + \cos 3x\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\,\ln\bigl(2 + \cos 3x\bigr) + C.

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