Use as fórmulas de reduçăio do Exercicio 58 para calcular as integrais.
\int x^{3} e^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\int x^{3}e^{2x}\,dx
usando a fórmula de redução. O conteúdo aqui é integração por partes repetida, que gera a fórmula de redução
\int x^{n}e^{ax}\,dx =\frac{1}{a}\,x^{n}e^{ax}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx.

Passo 2

Aplicando a fórmula de redução com n=3 e a=2, obtemos
\int x^{3}e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x^{3}e^{2x} -\frac{3}{2}\int x^{2}e^{2x}\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int x^{2}e^{2x}\,dx com a mesma fórmula n=2, a=2:
\int x^{2}e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} -\frac{2}{2}\int x\,e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} -\int x\,e^{2x}\,dx.

Passo 4

Em seguida, calculamos \displaystyle \int x\,e^{2x}\,dx n=1, a=2:
\int x\,e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x\,e^{2x} -\frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x\,e^{2x} -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} =\frac{1}{2}x\,e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \displaystyle \int x^{2}e^{2x}\,dx:
\int x^{2}e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} -\Bigl(\frac{1}{2}x\,e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr) =e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\Bigr).

Passo 6

Voltando à expressão de \displaystyle \int x^{3}e^{2x}\,dx:
\int x^{3}e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}x^{3}e^{2x} -\frac{3}{2}\,e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\Bigr).

Passo 7

Distribuindo e simplificando em fator comum e^{2x}:
\int x^{3}e^{2x}\,dx =e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{3}{4}x^{2}+\tfrac{3}{4}x-\tfrac{3}{8}\Bigr)+C.

Resposta

\int x^{3}e^{2x}\,dx =e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{3}{4}x^{2}+\tfrac{3}{4}x-\tfrac{3}{8}\Bigr)+C.

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